Aquellos que admiran y leen a Edgar Allan Poe (1809-1849) es casi seguro que en alguna ocasión hayan leído El Cuento Mil y dos de Scherezade. Como se habrán dado cuenta, dicha historia es una escalofriante versión del destino final de la famosa narradora de Las Noches árabes. Versión tan desconocida para los historiadores, pero oscura y renovadamente siniestra para los literatos, como toda obra creativa de El poseso.

El cuento en sí se lee con mucho deleite por el enorme despliegue de conocimientos de los que se vale Poe para crear un argumento alucinante. Habla, por ejemplo, de bosques petrificados en Texas, el daguerrotipo, la pila voltaica, el jugador autómata de ajedrez de Maelzel, la máquina calculadora de Babbage, el electrotipo, el león-hormiga y las abejas. Siendo esto último lo más sorprendente. En una de las páginas de dicho cuento se lee lo siguiente (véase Aventuras de Arthur Gordon Pym y otros relatos, editorial Optima, Barcelona, 2da edición, 1999, p. 295):

"Abandonando aquella tierra, llegamos en seguida a otra, en la que las abejas y los pájaros son matemáticos de tanto genio y erudición que diariamente dan lecciones científicas de geometría a los sabios del imperio. El rey de aquel lugar ofreció una recompensa por la solución de dos problemas muy difíciles; problemas que fueron resueltos al momento: uno por las abejas y otro por los pájaros; pero el rey guarda su solución en secreto y, sólo tras muchas discusiones y trabajo y la escritura de voluminosos libros durante una serie de años, llegaron los hombres matemáticos finalmente a soluciones idénticas a las dadas por las abejas y por los pájaros."

Como se puede leer, Poe hace clara alusión a dos problemas antiguos de las matemáticas. El primero, el de los pájaros, fue estudiado y analizado por el genio renacentista Leonardo da Vinci en El Códice de los pájaros (Biblioteca Real de Turín, 17 páginas), que dicho sea de paso, fue elemental para propiciar la invención de los molinos de viento y los aeroplanos. El segundo, igualmente interesante, es el problema de las abejas, del cual quiero mencionar algunas cosas, que si bien no son nuevas, resulta interesante recordar desde el punto de vista de las matemáticas.

Bien sabido es que las abejas son unos insectos muy prestos al duro trabajo en los panales, pero ¿cuántos sabemos que la construcción de la estructura interna de un panal esconde un maravilloso y singular proceso matemático? ¿Quién podría sospechar que almacenar miel dentro de un panal es un problema de máximos y mínimos? ¿A qué se debe la forma hexagonal de las celdas que forman el panal? ¿A qué se debe la elegante forma simétrica de dichas celdas? Veamos si me explico:

Las abejas construyen las celdas o compartimentos internos de los panales de tal forma que el número de lados y paredes de dichas celdas forman ángulos tan exactos que pueden almacenar en su interior la misma cantidad de miel empleando la mínima cantidad de cera para construir dicha celda y lograr así la mayor estabilidad de la estructura, lo cual llevan a cabo construyendo cada celda con un fondo piramidal constituido por tres planos que se encuentran en un punto formando tres rombos iguales. Para entender esto véase la figura siguiente:

Se puede ver que el ángulo JKH y el perímetro hexagonal determinan la forma final de la estructura más adecuada de la celda para guardar la miel. ¿Cuánto vale entonces dicho ángulo? ¿Qué tiene que ver la forma hexagonal de la celda? Pues fueron grandes interrogantes, hasta que genios como Johanes Kepler, Charles Darwin, Giaccomo Maraldi, Lord Kelvin, Samuel Koenig, Gabriel Cramer y Colin Maclaurin los estudiaron a fondo. De entre las soluciones del problema de las abejas cabe destacar, según dice Maurice Maeterlinck (autor belga y premio Nobel de literatura en 1911) en su libro La vida de las abejas (léase capítulo 4), la de Maclaurin (el autor del famoso desarrollo en serie), cuyo trabajo al respecto puede encontrarse en los anales de la Sociedad Real de Londres. El ángulo agudo JKH resulta que tiene un valor aproximado de 70° 31'. Una demostración matemática de este asunto se puede encontrar en el libro Matemáticas, 7mo Curso, del matemático español Pedro Puig Adam o visitar la web Gacetilla matemática (de donde he tomado prestada la figura precedente).

Algunos como D'Arcy Thompson, autor del célebre libro On Growth and Form (Sobre el crecimiento y la forma), sugieren que la forma hexagonal es producto de la tensión superficial; otros, como Darwin, especulaban que las celdas se acomodaban de tal forma que los espacios vecinos se redistribuyen partiendo de una forma cilíndrica hasta adoptar la inevitable forma hexagonal.

Según Keith Devlin en su libro El lenguaje de las matematicas "... no son las leyes de la naturaleza inanimada las que dan a los panales su elegante forma simétrica; son mas bien las propias abejas las que construyen sus panales de esa manera. Secretan la cera en forma de copos sólidos, y construyen el panal celda por celda y cara por cara. La humilde abeja es en algunos aspectos, por lo que se ve, un geómetra altamente consumado, al que la evolución ha equipado para la tarea de construir su panal de la forma matemática óptima."

Me parece algo sorprendente, tal como se lee en best seller de Dan Brown, El Codigo da Vinci (Doubleday, traducción española de Juanjo Estrella, Barcelona, Umbriel, 2003, Cap. 20, p. 121) que la Divina Proporción esté bastante relacionada con el mundo de las abejas, pues según dicho libro al dividir el número de hembras por el número de machos de cualquier panal siempre se obtendrá como resultado el increíble número áureo: 1,618... ¿Será este un dato empírico o se deducirá de la forma en que se reproducen las abejas?

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Bibliografía

• El lenguaje de las Matemáticas, Keith Devlin, 2002, Mannon Troppo.
• Las aventuras de Arthur Gordon Pym y otros relatos, Edgar Allan Poe, 2002, Optima.
• El Código da Vinci, Dan Brown, 2003, Umbriel.
• La Vida de las abejas, Maurice Maeterlinck. web: Traducción inglesa de Alfred Sutro.
• On Growth and Form, D'Arcy Thompson, 2000, Cambridge University Press.
• web: La Gacetilla matemática.