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Matemáticas II - Geometría
     

Índice de temas de geometría

4. Vectores en el espacio.

5. Rectas y planos en el espacio.

6. Métrica en el espacio.


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Esquema

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Ejercicios

 

Gaspard Monge

 

Tema 4 Vectores en el espacio

  • Un punto en el espacio.
  • Magnitudes escalares y vectoriales.
    • Vector fijo:
      • Segmento orientado.
      • Origen y extremo. Se escribe \(\overrightarrow{AB}\).
      • Elementos:
        • Módulo.
        • Dirección.
        • Sentido.
      • Coordenadas a partir de los puntos.
    • Vector libre [*]
        • Vectores equipolentes: igual módulo, dirección y sentido.
      • Vector libre: clase de todos los vectores equipolentes.
      • Se escribe \(\vec{v}\).
  • Operaciones con vectores en 3d
  • Combinación lineal de tres vectores
    • Independencia lineal.
      • Dos vectores linealmente dependientes son proporcionales.
    • Bases.
      • En el plano, dos vectores.
      • En el espacio, tres.
    • Sistema de referencia
      • Sistema de referencia: punto y base..
      • Sistema de referencia canónico.
      • Coordenadas.
      • Cambio de base
      • Módulo.
      • Las operaciones de vectores con coordenadas.
      • Independencia lineal con rangos.
  • Cálculos
    • Vector posición.
    • Punto medio de un segmento.
    • Dividir un segmento en parte iguales. [*]
    • Vectores paralelos. Puntos alineados.
  • Producto escalar.
    • Física: trabajo.
    • Definición: \(\vec{u}·\vec{v}=|u|·|v|·cos \alpha\)
    • Interpretación geométrica: producto de uno por la proyección del otro.
    • Propiedades:
      • \(\vec{u}·\vec{u}=|u|^2\)
      • \(\vec{u}·\vec{v}=\vec{v}·\vec{u}\)
      • \(\vec{u}·(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}·\vec{v}+\vec{u}·\vec{w}\)
      • \(k·(\vec{u}·\vec{v})=(k\vec{u})·\vec{v}=\vec{u}·(k\vec{v})\)
      • \(\vec{u}·\vec{v}=0 \Leftrightarrow \text{son perpendiculares}\)
    • Expresión en coordenadas.
    • Aplicaciones:
      • Ángulo entre dos vectores.
      • Vector proyección: \(proy_{\vec{u}}\vec{v}=\dfrac{\vec{u}·\vec{v}}{|\vec{u}|^2}\vec{u}\)
      • Criterio de perpendicularidad..
  • Producto vectorial y producto mixto
    • Producto vectorial
      • Física: momento angular.
      • Definición:
        • Módulo: \(|\vec{u}\times \vec{v}|=|\vec{u}|·|\vec{v}|·sen(\vec{u},\vec{v})\)
        • Dirección: perpendicular a \(\vec{u} \text{ y } \vec{v}\)
        • Sentido: regla del sacacorchos.
      • Interpretación geométrica: área del paralelogramo.
      • Propiedades:
        • \(|\vec{u}\times \vec{u}|=0\)
        • \(\vec{u}\times \vec{v}=-\vec{v}\times \vec{u}\)
        • \(\vec{u}\times (\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\times \vec{v}+\vec{u}\times \vec{w}\)
        • \(k·(\vec{u} \times \vec{v})=(k\vec{u}) \times \vec{v}=\vec{u}\times (k\vec{v})\)
        • \(\vec{u}\times \vec{v}=0 \Leftrightarrow \text{son paralelos}\)
        • En general, \(\vec{u}\times (\vec{v} \times \vec{w}) \ne (\vec{u}\times \vec{v}) \times \vec{w}\)
      • Expresión en coordenadas: \(\vec{u}\times \vec{v}=\left| \begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{array} \right|=\left| \begin{array}{cc} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{array} \right|\vec{i}-\left| \begin{array}{cc} u_1 & u_3 \\ v_1 & v_3 \end{array} \right|\vec{j}+\left| \begin{array}{cc} u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \end{array} \right|\vec{k}\)
      • Aplicaciones:
    • Producto mixto
      • \([\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=\vec{u}·(\vec{v}\times\vec{w})\)
      • Interpretación geométrica: volumen del paralelepípedo.
      • Expresión en coordenadas: \([\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=\left| \begin{array}{ccc} u_1 & u_2 & u_3\\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \end{array} \right|\)
      • Aplicaciones: Volumen del paralelepípedo. Volumen del tetraedro.
  • Cálculos:
    • Vértices de un paralelogramo.
    • Coordenadas respecto de una base.
    • Parámetro para que tres vectores sean l.i.
    • Parámetro para que dos vectores sean proporcionales.
    • Parámetro para que un triángulo tenga un área dada.
    • Vectores perpendiculares con ciertas condiciones.
    • Producto mixto por las propiedades.

 

Tema 5 Rectas y planos en el espacio


Tema 6 Métrica en el espacio

Al finalizar el tema, tenemos que saber:
  • Ángulos.
    • Ángulo formado por dos vectores: \(\alpha = arccos \left( \dfrac{\vec{u}·\vec{v}}{|\vec{u}|·|\vec{v}|} \right)\)
    • Ángulo entre rectas: \(\alpha = arccos \left( \dfrac{|\vec{u}·\vec{v}|}{|\vec{u}|·|\vec{v}|} \right)\); donde \(\vec{u}, \vec{v}\) son vectores directores de las rectas. (Se toma el valor absoluto del producto escalar para que el ángulo siempre salga agudo).
    • Ángulo entre una recta y un plano: el complementario del formado por la recta y la dirección normal al plano. Se usa un vector director de la recta y uno normal al plano.
    • Ángulo entre dos planos: el formado por sus direcciones normales. Se usa un vector normal a cada plano.
  • Distancias
    • Entre puntos: \(d(P,Q)=|\overrightarrow{PQ}|\).
    • De un punto a un plano (Lagrange): \(d(P,\pi)=\dfrac{|Ap_1+Bp_2+Cp_3+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\).
    • Entre planos:
      • No son paralelos: la distancia es cero.
      • Son paralelos: se halla distancia de un punto de uno de los planos al otro plano.
    • Entre recta y plano:
      • No son paralelos: la distancia es cero.
      • Son paralelos: se halla distancia de un punto de la recta al planos.
    • De un punto a una recta: \(d(P,r)=\dfrac{|\vec{v_r}\times \overrightarrow{AP}|}{|\vec{v_r}|}\)
    • Entre rectas:
      • Se cortan: la distancia es cero.
      • Paralelas: se halla distancia de un punto de uno de los planos al otro plano.
      • Se cruzan: \(d(r,s)=\dfrac{|[\overrightarrow{AB},\vec{v_r}, \vec{v_s}]|}{|\vec{v_r} \times \vec{v_s}|}\).

 
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Alberto Rodriguez Santos
Desde 11-11-2011
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