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Ejemplo de aproximación de una binomial por una normal
 

Supongamos que tiramos una moneda 100 veces y contamos el número de caras. Se trata, obviamente, de una destribución binomial B(100, 0´5), donde 0´5 es la probabilidad de sacar cara.

Como n = 100 no está en la tabla, vamos a aproximar la binomial con una normal. Para para poder hacerlo se deben cumplir dos cosas:

    • \(np>5\)
    • \(n(1-p)>5\)

Efectivamente: como n = 100 y p = 0´5, se tiene

    • \(np=100·0´5=50>5\)
    • \(n(1-p)=100·(1-0´5)=50>5\)

Comprobado que la aproximación tiene sentido, se calculan los parámetros de la normal con la siguientes fórmulas

    • \(\mu=np\)
    • \(\sigma=\sqrt{np(1-p)}\)

En nuestro ejemplo:

    • \(\mu=100·0´5=50\)
    • \(\sigma=\sqrt{100·0´5·(1-0´5)}=5\)

Así, de \(X\equiv B(100, 0´5)\) pasamos a \(X'\equiv N(50,5)\)

Vamos ahora a calcular una probabilidad concreta, por ejemplo \(P(X=60)\).

Aquí hay que aplicar un truco importante. Si hicéramos \(P(X=60)=P(X'=60)\) nos daría cero, porque X' es una distribución continua y por tanto la probabilidad de un valor concreto siempre es cero. Lo que hacemos es coger un intervalo que contenga a 60 y no contenga a ningún otro entero. ¿Cómo?, pues restando y sumando 0´5 (por ser la mitad de uno, no por ser la probabilidad de cara).

Así, hacemos \(P(X=60)=P(60-0´5<X'<60+0´5)\).

A patir de aquí lo único que resta es operar con la tabla de la distribución normal como hacemos.... normalmente.

\[P(X=60)=P(60-0´5<X'<60+0´5)=\]

\[P(59,5<X'<60´5)=P(\dfrac{59,5-50}{5}<\dfrac{X-50}{5}'<\dfrac{60´5-50}{5})=P(1´9<Z<2´1)=\]

\[P(Z<2´1)-P(Z\le 1´9)= [tabla]=0,9821-0,9713=0,0108\]

Es decir:

\[P(X=60)=0,0108\]

Naturalmente, siempre se puede usar la función de probabilidad de la distribución binomial:

\[P(X=60)= \displaystyle\binom{100}{60}0´5^{60}·(1-0´5)^{40}=0,0108\]

¿Por qué entonces todo el rollo de la aproximaxión? Pues porque en una isla desierta puede que tengamos unas tablas pero no una calculadora pero, sobre todo, porque te lo pueden pedir en selectividad.

Vista esta pequeña explicación, en el siguiente enlace podéis encontrar más ejemplos y las transformaciones necesarias según los distintos tipos de intervalos: el enlace.

Si, pese a todo, algo no te queda claro, escríbeme: alberto@epsilones.com.

 
 
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Alberto Rodriguez Santos
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