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Ejemplo de probabilidad mediante operaciones con sucesos
 

Se consideran dos sucesos A y B tales que: \(P(A) =\dfrac{1}{3},\ P(B/A) =\dfrac{1}{4}, P(A \cup B) = \dfrac{1}{2}\). Calcúlese razonadamente:

a) \(P(A \cap B)\)

b) \(P(B)\)

c) \(P(\bar B/A)\)

d) \(P(\bar A / \bar B)\)

Madrid, 2012

SOLUCIÓN

a) \(P(A \cap B)=P(A)P(B/A)=\dfrac{1}{3}\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{12}\)

b) \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\)

Por lo tanto: \(P(B)=P(A\cup B)-P(A)+P(A\cap B)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{12}=\dfrac{1}{4}\)

c) \(P(\bar B/A)=\dfrac{P(\bar B \cap A)}{P(A)} =\dfrac{P(A)-P(A \cap B)}{P(A)}=\dfrac{\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{12}}{\dfrac{1}{3}}=\dfrac{3}{4}\)

De otra forma: \(P(\bar B/A)=1-P(B/A) =1-{\dfrac{1}{4}}=\dfrac{3}{4}\)

d) Por la regla del producto: \(P(\bar A \cap \bar B)=P(\bar A / \bar B)·P(\bar B)\)

Despejando:

\(P(\bar A / \bar B)=\dfrac{P(\bar A \cap \bar B)}{P(\bar B)}=\dfrac{P(\overline{A \cup B})}{P(\bar B)}=\dfrac{1-P(A \cup B)}{1-P( B)}=\dfrac{1-\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{4}}=\dfrac{2}{3}\)

 
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Alberto Rodriguez Santos
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