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Sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas por sustitución y por Gauss
Matemáticas II > Álgebra
 

Método de sustitución

\[\left\{\begin{array}{l} 3x+y-2z=-5\\x+3y+5z=12\\-2x-2y+z=-1 \end{array}\right.\]

Despejamos x de la 2ª:

\[x=-3y-5z+12\]

Sustituimos x en la 1ª y 3ª:

\[\left\{\begin{array}{l} 3(-3y-5z+12)+y-2z=-5\\-2(-3y-5z+12)-2y+z=-1 \end{array}\right.\]

Simplificando:

\[\left\{\begin{array}{l} -8y-17z=-41\\4y+11z=23 \end{array}\right.\]

Lo anterior es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, que puede resolverse por cualquiera de los métodos conocidos.

Si multiplicamos la 2ª por 2 y le sumamos la 1ª queda:

\[5z=5\]

Es decir:

\[z=\dfrac{5}{5}=1\]

Sustituyendo en \(4y+11z=23\) tenemos

\[4y+11·1=23\]

de donde

\[y=\dfrac{23-11}{4}=3\]

Finalmente, sustituyendo en \(x=-3y-5z+12\)

\[x=-3·3y-5·1+12=-2\]

Método de Gauss, con ecuaciones

\[\left\{\begin{array}{l} 3x+y-2z=-5\\x+3y+5z=12\\-2x-2y+z=-1 \end{array}\right.\]

Interambiamos las ecuaciones 1ª y 2ª:

\[\left\{\begin{array}{l} x+3y+5z=12\\3x+y-2z=-5\\-2x-2y+z=-1 \end{array}\right.\]

Le sumamos a la 2ª la 1ª multiplicada por -3:

\[\left\{\begin{array}{l} x+3y+5z=12\\-8y-17z=-41\\-2x-2y+z=-1 \end{array}\right.\]

Le sumamos a la 3ª la 1ª multiplicada por 2:

\[\left\{\begin{array}{l} x+3y+5z=12\\-8y-17z=-41\\4y+11z=23 \end{array}\right.\]

Intercambiamos la 2ª y la 3ª:

\[\left\{\begin{array}{l} x+3y+5z=12\\4y+11z=23\\-8y-17z=-41 \end{array}\right.\]

Le sumamos a la 3ª la 2ª multiplicada por 2:

\[\left\{\begin{array}{l} x+3y+5z=12\\4y+11z=23\\5z=5 \end{array}\right.\]

Despejando de la 3ª:

\[z=\dfrac{5}{5}=1\]

Despejando de la 2ª:

\[y=\dfrac{23-11z}{4}=\dfrac{23-11·1}{4}=3\]

Despejando de la 1ª:

\[x=12-3y-5z=12-3·3-5·1=-2\]

Método de Gauss, con matrices

\[\left\{\begin{array}{l} 3x+y-2z=-5\\x+3y+5z=12\\-2x-2y+z=-1 \end{array}\right.\]

Escribimos la matriz:

\begin{pmatrix}{3}&{1}&{-2}&{|}&{-5}\\{1}&{3}&{5}&{|}&{12}\\{-2}&{-2}&{1}&{|}&{-1}\end{pmatrix}

Interambiamos las ecuaciones 1ª y 2ª:

\begin{pmatrix}{1}&{3}&{5}&{|}&{12}\\{3}&{1}&{-2}&{|}&{-5}\\{-2}&{-2}&{1}&{|}&{-1}\end{pmatrix}

Le sumamos a la 2ª la 1ª multiplicada por -3:

\begin{pmatrix}{1}&{3}&{5}&{|}&{12}\\{0}&{-8}&{-17}&{|}&{-41}\\{-2}&{-2}&{1}&{|}&{-1}\end{pmatrix}

Le sumamos a la 3ª la 1ª multiplicada por 2:

\begin{pmatrix}{1}&{3}&{5}&{|}&{12}\\{0}&{-8}&{-17}&{|}&{-41}\\{0}&{4}&{11}&{|}&{23}\end{pmatrix}

Intercambiamos la 2ª y la 3ª:

\begin{pmatrix}{1}&{3}&{5}&{|}&{12}\\{0}&{4}&{11}&{|}&{23}\\{0}&{-8}&{-17}&{|}&{-41}\end{pmatrix}

Le sumamos a la 3ª la 2ª multiplicada por 2:

\begin{pmatrix}{1}&{3}&{5}&{|}&{12}\\{0}&{4}&{11}&{|}&{23}\\{0}&{0}&{5}&{|}&{5}\end{pmatrix}

La 3ª dice que \(5z=5\). Despejando: \[z=\dfrac{5}{5}=1\]

La 2ª dice que \(4y+11z=23\). Despejando y sustituyendo z por 1: \[y=\dfrac{23-11z}{4}=\dfrac{23-11·1}{4}=3\]

La 1ª dice que \(x+3y+5z=12\). Despejando y sustituyendo y por 3, z por 1: \[x=12-3y-5z=12-3·3-5·1=-2\]

 

 
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Alberto Rodriguez Santos
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