Epsiclas
El pentagrama: una escala logarítmica
4º ESO Matemáticas académicas> Funciones
Matemáticas I> Números y álgebra
Matemáticas II> Análisis

 

Si representamos dos octavas en el pentagrama obtendremos la siguiente imagen:

Sin embargo, si representamos las frecuencias de las notas musicales en un ejes coordenados, obtenemos la gráfica que se puede ver abajo. Los puntos se ajustan peerfectamente a la gráfica de una función exponencial, como se puede comprobar seleccionando la casilla exponencial. La sorpresa es que, tomando logaritmos (lo cual conseguimos llevando el deslizador de la izquierda hacia abajo), conseguimos alinear las notas de un modo similar al pentagrama. Si esto es así es porque el pentagrama es un gráfico logarítmico, en el sentido de que no muestra la diferencia entre las frecuencias de los sonidos, sino entre los logaritmos de dichas frecuencias.

Esto puede parecer caprichoso, pero no lo es: nuestro oído no nos informa de las diferencias absolutas entre los sonidos, sino de la relación que hay entre ellos. Así, cuando escuchamos sonidos de 110, 220, 440 u 880 herzios, el oído no nos dice que la diferencia entre unos y otros va creciendo, sino que la relación entre ellos es en todos los casos la misma, es decir, el doble de la anterior. El efecto es que, con independiencia de las diferencias entre sus frecuencias, siempre escuchamos la misma nota: la.


Archivo GeoGebra

Lo dicho antes exige alguna salvedad: el pentagrama no es una escala logarítmica perfecta: hay que tener en cuenta que, por un lado, hay notas que solo difieren en medio tono, mientras que otras difieren en un tono. Por otro, los sostenidos y bemoles que se introducen en la clave modifican estos saltos medio tono arriba, medio tono abajo.

La fórmula

Quizá tengas curiosidad por saber de dónde viene la fórmula exponencial que aparece en la construcción. Es sencillo:

  1. Pasar de una nota a la misma nota de la octava siguiente significa multiplicar la frecuencia por 2.
  2. Como entre entre dos notas separadas por hay una octava hay doce semitonos, para pasar de una nota a la que es un semitomo más aguda habrá que multiplicar la frecuencia de la primera por \(\sqrt[12]{2}\).
  3. Si queremos empezar en la nota Do2, numeramos los semitonos empezando por ella. Entonces la nota x será x-1 tonos más aguda que Do2, por lo que habrá que multiplicar x-1 veces su frecuencia (130,813 Hz), por \(\sqrt[12]{2}\).
  4. Es decir: \(f(x)=130,813·(\sqrt[12]{2})^{x-1}\)
 
Aquí puedes hacer tus comentarios

Epsiclas
Alberto Rodriguez Santos
Desde 11-11-2011
Derechos