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Derivada de una inversa
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Sea \(f(x)=sen {x}\), función de la que conocemos su derivada: \(f'(x)=\cos{x}\).

Vamos a derivar la función inversa de \(f(x)\), es decir, \(f^{-1}(x)=arcsen{x}\)

Sabemos que \((f^{-1})'(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}\) (ver tabla de derivadas)

Entonces:

\[(f^{-1})'(x)=\frac{1}{cos(arcsen(x))}        (1)\]

En \(sen^2x+\cos^2x=1\) despejamos el coseno:

\[\cos{x}=\pm\sqrt{1-sen^2{x}}        (2)\]

Como el recorrido de la función \(arcsen{x}\) es \([-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\) y sobre ese intervalo el coseno toma valores positivos o cero, podemos quedarnos con el signo + en (2) y sustituir en (1):

\[(f^{-1})'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-sen^2{(arcsen(x))}}}\]

Como \(sen(arcsen(x))=x\), se tiene finalmente:

\[(f^{-1})'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\]

 
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Alberto Rodriguez Santos
Desde 11-11-2011
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