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Geometrías no euclídeas
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Euclides de Alejandría

Fue un matemático griego que vivió sobre el 300 a.C. Su libro Los Elementos es uno de los libros más importantes e influyentes de la historia de las Matemáticas. La obra se divide en XIII libros o capítulos que incluyen 132 definiciones, 5 axiomas, 5 postulados y cerca de 500 proposiciones y trata temas de álgebra, geometría elemental del plano y del espacio y teoría de números.

Postulados de Euclídes

1. Por dos puntos diferentes sólo se puede trazar una única línea recta.
2. Todo segmento rectilíneo se puede prolongar indefinidamente.
3. Con un centro y un radio dado sólo se puede trazar una única circunferencia.
4. Todos los ángulos rectos son iguales.
5. Si una recta corta a otras dos formando a un lado ángulos internos, y la suma de estos es menor que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán de ese lado.

Una formulación alternativa, mucho más moderna, del quinto postulado es la siguiente: 

5'. Por un punto exterior a una recta se puede trazar una y sólo una paralela a dicha recta.

 

 

 

Línea godésica

Curva que da la mínima longitud entre dos puntos en una superficie dada, y está contenida en esta superficie. El concepto de línea geodésica generaliza para cualquier superficie el concepto de línea recta del plano euclídeo. Así, cuando se hable del quinto postulado aplicado a superficies que no sean el plano, donde dice “recta” hay que rescribir “línea geodésica”.

 

Geometría hiperbólica

Sobre la pseudoesfera, las líneas geodésicas son de dos tipos: curvas que parten del ecuador y suben hasta el infinito, y curvas que rodean el “cuello” de la pseudoesfera.

No se cumple el quinto postulado en el sentido de que, dada una geodesia y un punto exterior a ella, por él pasan infinitas geodésicas que no cortan a la primera. Es decir, hay infinitas paralelas.

En la figura se han representado tres geodésicas que pasan por el punto P y que no cortan a la geodésica que no contiene a P. Entre estas tres se podrían dibujar infinitas más.

Fue descubierta por Gauss, Lobachevski y Bolyai. Otro modelo de la geometría hiperbólica es el paraboloide hiperbólico, también llamado "silla de montar".

 

 

Geometría euclídea (o parabólica)

Sobre el plano, las líneas geodésicas son las rectas. 

Se cumple el quinto postulado: dada una recta (geodésica) y un punto exterior a ella, por dicho punto solo pasa una recta (geodésica) que no corta a la primera: solo existe una paralela.

Geometría elíptica

Desarrollada por Riemann, el modelo más sencillo es el de una esfera sobre la cual las líneas geodésicas son circunferencias máximas, es decir, el resultado de cortar la superficie esférica con un plano que pase por su centro (dados dos puntos, para hallar la geodésica que pasa por ellos se corta la superficie esférica con el plano que pasa por ellos y el centro de la esfera).

No se cumple el quinto postulado, puesto que todas las líneas geodésicas (circunferencias máximas) se cortan en dos puntos diametralmente opuestos. Es decir, no existe ninguna paralela.

Tiene curvatura positiva.

Geometría riemanniana

Se trata en realidad de toda una familia de geometrías que se caracterizan por ser infinitésimalmente euclídeas, aunque sus propiedades geométricas, por ejemplo la curvatura, varía pueden variar de un punto a otro. 

Las geometrías elíptica, euclídea e hiperbólica son casos particulares de geometrías riemannianas.    

 

Ángulos y curvatura

La suma de los ángulos de un triángulo

  • Geometría elíptica: >180º
  • Geometría euclídea: =180º
  • Geometría hipérbólica: <180º

 

 

 

 

 

Curvatura

  • Geometría elíptica: positiva
  • Geometría euclídea: cero.
  • Geometría hipérbólica: negativa.
 Negativa
Cero 
Positiva

Importancia histórica

  1. Crisis de fundamentos: la geometría de Euclides no refleja la realidad física. Los axiomas no tiene por qué ser intuitivos. 
  2. Una geometría para la relatividad general de Einstein... y nuevas formas para el universo.

 

Fuentes

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Alberto Rodriguez Santos
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