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Irracionalidad de la raíz de dos
4º ESO Matemáticas académicas> Números y álgebra
Matemáticas I> Números y álgebra
 

Una demostración

Supongamos que \(\sqrt{2}\) es racional. Entonces existen dos números naturales a y b, primos entre sí, tales que \(\dfrac{a}{b}=\sqrt{2}\).

Entonces:

\(\dfrac{a^2}{b^2}=2\Rightarrow a^2=2b^2\)

De la última igualdad se deduce que a2 es par, por lo que a debe ser par (2 es un factor de a2 y, por tanto, también de a).

Sea r natural tal que a = 2r.

Se tiene entonces: a2 = (2r)2 = 4r2 = 2b2

Simplificando: 2r2 = b2

De la última igualdad se deduce que b2 es par, por lo que b debe ser par, pero esto es una contradicción, pues a y b se suponen primos entre sí.

Por tanto, la suposición original es falsa y \(\sqrt{2}\) es irracional.

Otra demostración aún mejor...

Empezamos como antes, suponiendo que \(\sqrt{2}\) es racional y que por tanto existen dos números naturales a y b tales que a2 = 2b2.

Si descomponemos a2 en factores primos es obvio que aparecerán los factores de a pero duplicados. Y lo mismo ocurrirá con b2. Sin embargo, en la expresión 2b2 hay un 2 desparejado. Contradicción.

Nota: observese que esta demostración es aplicable a cualquier natural que no sea un cuadrado perfecto, de modo que sirve para demostrar que toda raíz cuadrada de un número natural o es entera o es irracional.

 
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Alberto Rodriguez Santos
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