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Ejemplo de cálculo en una distribución binomial

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Matemáticas II CCSS > Probabilidad y estadística

 

Consideramos la variable aleatoria que cuenta el número de bolas blancas que obtengo, al sacar tres veces una bola de un recipiente que contiene 2 bolas blancas y 3 rojas, y después de anotar el color, devolver la bola al recipiente. Calcula la probabilidad de que obtenga 2 bolas blancas.

Solución:

Es una variable discreta, (el número de bolas blancas solo puede ser 0, 1, 2, 3). Y los experimentos son independientes, al reemplazarse la bola tras cada extracción, por lo que se trata de una binomial. Como \(n=3\) y \(p=P(blanca) = \dfrac{2}{5}\), tenemos que es una distribución \(X=B\left(3,\dfrac{2}{5}\right)\).

Cálculo con la fórmula:

La probabilidad viene dada por la fórmula:

\[P(X=k)=\displaystyle\binom{n}{k}p^k(1-p)^{(n-k)}\]

Sustituyendo:

\[P(X=2)=\displaystyle\binom{3}{2}·\left(\dfrac{2}{5}\right)^2·\left(\dfrac{3}{5}\right)^{(3-2)}\]

\[=3·\left(\dfrac{4}{25}\right)·\left(\dfrac{3}{5}\right)=\dfrac{36}{125}=0,288\]

Cálculo con la tabla:

  • n = número de extracciones = 3
  • k = número de bolas blancas que queremos sacar 2
  • \(p=P(blanca) = \dfrac{2}{5}=0,40\)

.

 

***

Si consideramos el mismo experimento de la actividad anterior, calcula.
a) La probabilidad de que todas las bolas sean del mismo color.
b) La probabilidad de obtener alguna bola roja.

Solución:

a)

\(P(bolas del mismo color)=P(X=3)+P(X=0)=\displaystyle\binom{3}{3}·\left(\dfrac{2}{5}\right)^3·\left(\dfrac{3}{5}\right)^{(3-3)}+\displaystyle\binom{3}{0}·\left(\dfrac{2}{5}\right)^0·\left(\dfrac{3}{5}\right)^{(3-0)}=\left(\dfrac{2}{5}\right)^3+\left(\dfrac{3}{5}\right)^3=\dfrac{35}{125}=0,28\)

b)

\(P(alguna\ roja)=1-P(ninguna\ roja)=1-P(X=3)=1- \left(\dfrac{2}{5}\right)^3=\dfrac{117}{125}=0,936\)

 
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Alberto Rodriguez Santos
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