Ejercicio complicado

Cuando contemplamos un cuadro pocas veces nos percatamos de su contenido esencial. Algo así sucede con este cuadro de Nicolai Petrovich Bogdanov Belski (1868-1945) titulado Ejercicio Complicado(1895). El pintor ruso sentía una especial predilección por la belleza de los paisajes, niños y escuelas rurales de su país, ejemplo de lo cual es esta escena en la que se ve a unos jóvenes estudiantes que tratan de resolver mentalmente el siguiente ejercicio aritmético:

\[\dfrac{10^2+11^2+12^2+13^2+14^2}{365}\]

El cálculo puede resultar fácil o difícil: depende del cristal con el que se mire. Para el personaje del maestro, que mira atentamente a sus alumnos, resulta sencillo porque conoce las propiedades de los números. Se trata del educador Serguei A. Rachinski (1833-1902), quien influido por las ideas literarias de Tolstoi, se dedicó a la instrucción pública y a enseñar a niños campesinos en lugar de dedicarse a su cátedra de Ciencias Naturales en la universidad. “Es necesario que todos los rusos cultos conozcan los libros para niños del conde L.N.Tolstoi” (Alfabeto y Nuevo Alfabeto, p.141, Moscú, 1978).

En cuanto a la solución, si se sabe, como sabía Rachinski, que

\[10^2+11^2+12^2=13^2+14^2\]

y teniendo en cuenta que 100 + 121 + 144 = 365, no resulta difícil ver que el resultado de la operación planteada en el cuadro de Belski es 2.

Un problema sencillo es el siguiente, propuesto por Yakov Perelman: ¿es acaso la serie 10, 11, 12, 13, 14 la única serie de cinco números enteros consecutivos en la que la suma de los cuadrados de los tres primeros es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos?