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Circunferencias tangentes a tres circunferencias tangentes

Ya vimos cómo, dados tres puntos, hallar tres circunferencias centradas en ellos que sean tangentes dos a dos exteriormente.

Ahora se trata de, dadas tres circunferencias en esa situación, hallar circunferencias tangentes a las tres. Este es un caso particular del problema de Apolonio, consistente en encontrar circunferencias tangentes a tres circunferencias dadas.

El teorema de los círculos de Descartes (o de Soddy, que lo redescubrió bastante después) asegura que siempre hay, al menos, una solución para el problema. De hecho, siempre hay dos, salvo en cierto caso singular (dejo como ejercicio para el lector encontrar dicho caso). La construcción siguiente nos muestra las dos soluciones, una que aparece en el triángulo curvo formado por las tres circunferencias y que es tangente exterior a las tres (de color gris); y la otra, que puede ser también tangente exterior, aunque ahora por fuera, o contener en su interior a las tres circunferencias como tangentes interiores (de color negro).

Los tres puntos blancos son los centros de las circunferencias iniciales. Arrastrándolos podemos ver las distintas configuraciones posibles.

Notas sobre la construcción

1. Los radios

Sean \(r_1,\ r_2\ y\ r_3\) los radios de los círculos rojo, verde y azul. Entonces sus correspondientes curvaturas serán \(k_1=\dfrac{1}{r_1},\ k_2=\dfrac{1}{r_2}\ y\ k_3=\dfrac{1}{r_3}\). Del mismo modo, si \(r_4\) es el radio de una circunferencia tangente a las otras tres, su curvatura será \(k_4=\pm\dfrac{1}{r_4}\). En estas circunstancias, el teorema de los círculos de Descartes dice que \[(k_1+k_2+k_3+k_4)^2=2(k_1^2+k_2^2+k_3^2+k_4^2)\]

Despejando, tenemos que \[k_4=k_1+k_2+k_3\pm 2\sqrt{k_1k_2+k_2k_3+k_1k_3}\]

En la fórmula anterior, el signo menos nos proporciona la curvatura del círculo gris, el que es tangente exterior a los otros tres por dentro. El signo más, por su parte, nos da la curvatura del círculo negro. Esta puede ser de signo más cuando dicho círculo es tangente exterior a los otros tres por fuera y de signo menos cuando el círculo negro los contiene.

2. Los centros

Sean \(C_1,\ C_2\ y\ C_3\) los centros de los círculos iniciales.

2.1 Si \(C_4\) es el centro del círculo gris y \(r_4\) su radio, teniendo en cuenta que los radios en los puntos de tangencia son perpendiculares a la tangente, es obvio que \[\left\{\begin{array}{l} d(C_1,C_4)=r_4+r_1\\d(C_2,C_4)=r_4+r_2\\d(C_3,C_4)=r_4+r_3\end{array}\right.\]

 

 

 

 

 

Si \(C_i=(x_i,y_i\) para i = 1...4, las tres condiciones anteriores se traducen en un sistema de tres circunferencias (las de color naranja en la figura de la derecha) de ecuaciones:

\(\left\{\begin{array}{l} (x_1-x_4)^2+(y_1-y_4)^2=(r_4+r_1)^2\\(x_2-x_4)^2+(y_2-y_4)^2=(r_4+r_2)^2\\(x_3-x_4)^2+(y_3-y_4)^2=(r_4+r_3)^2\end{array}\right.\)

Resolviéndolo, obtenemos \(C_4\).

 

 

 

2.2 Si \(C_4\) es el centro del círculo negro cuando contiene a los otros tres círculos y \(r_4\) su radio, por la razón indicada en el caso anterior, se tiene que \[\left\{\begin{array}{l} d(C_1,C_4)=r_4-r_1\\d(C_2,C_4)=r_4-r_2\\d(C_3,C_4)=r_4-r_3\end{array}\right.\]

 

 

 

 

Si, como antes, \(C_i=(x_i,y_i)\) para i = 1...4, las tres condiciones anteriores se traducen en un sistema de tres circunferencias:

\(\left\{\begin{array}{l} (x_1-x_4)^2+(y_1-y_4)^2=(r_4-r_1)^2\\(x_2-x_4)^2+(y_2-y_4)^2=(r_4-r_2)^2\\(x_3-x_4)^2+(y_3-y_4)^2=(r_4-r_3)^2\end{array}\right.\)

En este caso y en el siguiente, en vez resolver el sistema algebraicamente, he dejado que GeoGebra obtenga todas las interseciones de las circunferencias anteriores dos a dos. Eso suponen seis puntos, aunque en realidad uno de ellos es triple, porque en él se cortan las tres circunferencias.

Buscándolo, tenemos \(C_4\).

 

2.3 Si \(C_4\) es el centro del círculo negro cuando es tangente exterior a los otros tres y \(r_4\) su radio, se tiene de nuevo que \[\left\{\begin{array}{l} d(C_1,C_4)=r_4+r_1\\d(C_2,C_4)=r_4+r_2\\d(C_3,C_4)=r_4+r_3\end{array}\right.\]

Para obtener \(C_4\) hago cono en el caso anteiror.

 

 

 

3. El caso singular

Aunque seguro que ya lo has averiguado, aquí va: solo hay un círculo tangente a los tres iniciales cuando dichos círculos son tangentes a una recta. En tal caso, la única solución es el pequeño círculo gris quwe aparece en el hueco que hay entres los tres círculos iniciales.

Ahora bien, si consideramos una recta como una circunferencia de radio infinito, el teorema de Soddy podría afirmar que siempre hay dos soluciones, aunque..., en ese caso, ¿cómo consideraríamos a este circulo de radio infinito, tangente exterior o interior? ¿O consideramos las dos posibilidades? Si hiciésemos eso, tendríamos entonces tres soluciones...

Esta configuración ya la habíamos visto en un sangaku sobre tres circunferencias tangentes.

 

4. El poema

A estos círculos tangentes a veces se les llama círculos besadores de Soddy. ¿Por qué? Pues porque Soddy, quien, por cierto, era químico, enunció el poema en verso...

El beso preciso (Sir Frederic Soddy, 1937)

Pueden besarse los labios, dos a dos,
sin mucho calcular, sin trigonometría;
mas ¡ay! no sucede igual en geometría,
pues si cuatro círculos tangentes quieren ser
y besar cada uno a los otros tres,
para lograrlo habrán de estar los cuatro
o tres dentro de uno, o alguno
por otros tres a coro rodeado.
De estar uno entre tres, el caso es evidente
pues son todos besados desde afuera.
Y el caso tres en uno no es quimera,
al ser éste uno por tres veces besado internamente.

Cuatro círculos llegaron a besarse,
cuanto menores tanto más curvados,
y es su curvatura tan sólo la inversa
de la distancia desde el centro.
Aunque este enigma a Euclides asombrara,
ninguna regla empírica es necesaria:
al ser las rectas de nula curvatura
y ser las curvas cóncavas tomadas negativas,
la suma de cuadrados de las cuatro curvaturas
es igual a un medio del cuadrado de su suma.

Espiar de las esferas
los enredos amorosos
pudiérale al inquisidor
requerir cálculos tediosos,
pues siendo las esferas más corridas,
a más de un par de pares
una quinta entra en la movida.
Empero, siendo signos y ceros como antes
para besar cada una a las otras cuatro,
el cuadrado de la suma de las cinco curvaturas
ha de ser triple de la suma de sus cuadrados.


► Archivo GeoGebra: Tres circunferencias tangentes más dos.

Referencias

 
Comentarios
Epsilones. Página + o - matemática de Alberto. Correo: alberto@epsilones.com. En la red desde el 4-7-2002 (ya hace). Última actualización: ver Novedades.
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