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Algoritmo de la raíz cuadrada

El algoritmo de la raíz cuadrada siempre me ha parecido caprichoso y arbitrario. A los algoritmos de las otras operaciones aritméticas elementales sí les encontraba el sentido, pero al algoritmo de la raíz no: en partícular, eso de doblar el resultado, añadirle una cifra y multiplicar por ella nunca lo vi. Pero es que nunca me puse. Ahora lo he hecho.

1. Definición

La raíz cuadrada de un número x es otro número y si, al elevar y al cuadrado, obtenemos x. Se representa con el simbolo \(\sqrt{\ }\), de modo que \(\sqrt{x}=y\) significa que \(y^2=x\).

Por ejemplo, \(\sqrt{9}=3\) porque \(3^2=9\).

La mayoría de números enteros no tienen una raiz cuadrada exacta. En tales casos pasamos del mejor al peor de los resultados, porque entonces la raíz es un número irracional. Por ejemplo, \(\sqrt{2}=1,4142135...\), donde los puntos suspensivos indican que a continuación vienen infinitas cifras decimales no periódicas.

Si necesitamos una aproximación entera de una raíz cuadrada, se habla entonces de raíz entera, que es el mayor número entero que, al cuadrado, es menor que el numero dado. Por ejemplo, la raíz entera de 28 es 5, porque 5 es el mayor entero que cumple \(5^2 \le 28\). Dicho de otro modo: \(5^2 \le 28<6^2\). A la diferencia entre el cuadrado y el número original se le llama resto. Se tiene entonces que \(28=5^2+3\), es decir, que la raíz entera de 28 es 5 con resto 3.

Simbólicamente, a, entero positivo, es la raíz entera de A > 0 si se cumple que \(a^2 \le A<(a+1)^2\) (la raíz será exacta cuando se dé la igualdad de la izquierda.).

2. El algoritmo

Por si alguien no se acuerda, vamos a repasarlo. La explicación de la izquierda se corresponde con el ejemplo que se ve a la derecha, que se puede recorrer paso a paso gracias a los botones Anterior y Siguiente. Si no tienes problemas con el algoritmo, pasa al punto siguiente.

Paso 1: se escribe el número bajo el signo radical.
Paso 2: se divide el número en grupos de dos cifras a un lado y a otro de la coma decimal.
Paso 3: se busca la raíz cuadrada entera del grupo de dos cifras de la izquierda (43), que es 6: esta es la primera cifra de la raíz.
Paso 4: se eleva al cuadrado y, paso 5, se resta.
Paso 6: se baja el siguiente grupo de dos cifras (25) y, paso 7, se dobla el 6.
Paso 8: se busca una cifra que añadida a 12 y tras multiplicar por ella misma, se acerque lo más posible a 725. Se trata de 5, que es la segunda cifra de la raíz, por lo que, paso 9, se escribe a continuación del 6.
Paso 10: el resultado se resta y, paso 11, se baja el siguiente grupo de cifras.
Paso 12: a partir de aquí repetimos el proceso. Se dobla la raíz y, paso 13, se busca una cifra que añadida a 130 y tras multiplicar por ella misma, el resultado se acerque lo más posible a 10067. Se trata de 7, que es la siguiente cifra de la raíz, por lo que, paso 14, se escribe a continuación del 65, aunque tras una coma decimal, por estar procesando ya la parte decimal del número original.
Paso 15: restamos el resultado para obtener el resto. Si quisiésemos obtener más decimales bastaría bajar grupos de dos ceros y repetir el proceso.

3. Aproximación geométrica

Obtener la raíz cuadrada de un número puede interpretarse como el cálculo del lado de un cuadrado que tiene por área dicho número. Por ejemplo, si un cuadrado tiene de área 4 \(cm^2\), su lado será 2 cm, es decir, \(\sqrt{4}\). Precisamente por esto se le llama raíz cuadrada.

En la construcción siguiente vemos un cuadrado azul de área \(4325,67 u^2\). Vamos a calcular el valor de su lado, y lo vamos a hacer por aproximaciones sucesivas.

Empezamos por las decenas. Arrastrando el deslizador Decenas hacia la derecha vamos a crear un cuadrado rojo cuyo lado tiene un número exacto de decenas.

Una vez llegamos al tope (6 decenas, 60 unidades), vemos que aún nos falta mucho para acercarnos al cuadrado azul. Probamos ahora a añadir unas cuantas unidades desplazando el siguiente deslizador. Obtenemos una ampliación verde que se aproxima ya bastante al cuadrado azul.

Aún así, vemos que aún falta un poco, que aún se ve algo de azul. Añadimos entonces unas décimas con el tercer deslizador para crear una nueva ampliación, esta vez amarilla.

Ahora casi lo conseguimos, aunque, si nos fijamos, aún queda una fina línea azul sin cubrir. Numéricamente, esa zona azul que aún falta es la diferencia el área azul y el valor acumulado de las zonas roja, verde y amarilla que, como se ve, es \(4325,67-4316,49=9,18 u^2\).

Este resto es un 0,21% del área original, así que, aunque el valor obtenido de 65,7 unidades no sea exacto, es bastante bueno.

Por supuesto, podemos aproximarnos más añadiendo centesimas, milésimas y lo que sea necesario, aunque, esta es la mala noticia, por mucho que prolongásemos el proceso, nunca lograríamos el valor exacto del área azul (¿por qué?).

4. Un poco de álgebra

En la construcción de arriba he descompuesto el área verde en tres zonas, una cuadrada de color naranaja y dos rectangulares de color malva. Siendo a = 6 las decenas y b = 5 las unidades de la aproximación que hemos obtenido en el apartado anterior, es fácil calcular las áreas de las distintas figuras:

  • Cuadrado rojo: \((10a)^2\).
  • Cuadrado naranja: \(b^2\)
  • Rectángulo malva: \(10a·b\)

Sumando las cuatro figuras tenemos: \((10a)^2+b^2+10a·b+10a·b\).

Reordenando un poco: \((10a)^2+b(10·2a+b)\)

El área azul, llamémosle A, es mayor que esta suma, por lo que \(A>(10a)^2+b(10·2a+b)\) y, por tanto, \[A-(10a)^2>b(10·2a+b)\]

Esta última desigualdad es la que explica el algoritmo de la raíz que hemos repasado más arriba: si volvemos al ejemplo, la primera cifra, la a, la de las decenas, la buscamos a ojo: es 6. La diferencia \(A-(10a)^2\) la obtenemos restando 36 a 43 y bajando el 25 (es lo mismo que restarle 3600 a 4325). Para tener 2a, doblamos el 6, y obtenemos 12. Ahora hay que multiplicarla por diez y sumarle un número, pero esto lo hacemos de una sola vez añadiendo la cifra correspondiente a la derecha. Pues bien, ese número que buscamos, el que cumple la desigualdad de arriba, 5 en el ejemplo, es el ancho b de la franja que añadimos al cuadrado rojo para aproximar mejor la raíz cuadrada.

5. Grupos de dos cifras

Pero, ¿por qué dividimos el número del que queremos calcular la raíz en grupos de dos?

La raíz cuadrada, como función, es creciente. Esto quiere decir que si un número es menor que otro, sus respectivas raíces cuadradas mantienen la misma relación. Si, por ejemplo, \(9 < 64\), entonces \(\sqrt{9} < \sqrt{64}\), es decir, \(3 < 8\).

Si en vez de dos números tenemos tres tales que \(a<b<c\), entonces \(\sqrt{a}<\sqrt{b}<\sqrt{c}\)

Este hecho nos permite saber cuántas cifras tiene la raíz cuadrada de cualquier número.

Por ejemplo: 37 es un número mayor que 0 y menor que 100: \(0 \le 37 < 100\). Por lo dicho antes, sus raíces mantendrán el mismo orden: \(\sqrt{0} \le \sqrt{37} < \sqrt{100}\), es decir, \(0 \le \sqrt{37} < 10\). La conclusión es que, aunque no sepamos cuñanto vale la raíz de 37, sí podemos asegurar que es mayor que 0 y menor que 10, es decir, que tendrá una cifra entera.

Lo dicho para 37 vale para cualquier numero del intervalo \([0,100\): si x es un número entre 0 y 99, \(x\in [0,100)\), tendremos que \(\sqrt{0} \le \sqrt{x} <\sqrt{100}\), es decir, \(0 \le \sqrt{x} <10\). Esto implica que la raiz cuadrada de cualquier número del 0 al 99 tendrá una sola cifra entera.

Si ahora x es un número entre 100 y 9999, es decir, si \(x\in [100,10000)\) tendremos que \(\sqrt{100} \le \sqrt{x} <\sqrt{10000}\), es decir, \(10 \le \sqrt{x} <100\). Vamos, que cualquier número del 100 al 9999 tendrá una raíz cuadrada con dos cifras enteras.

En general, si \(x\in [10^{2n},10^{2n+2})\) tendremos que \(\sqrt{10^{2n}} \le \sqrt{x} <\sqrt{10^{2n+2}}\), es decir, \(10^n \le \sqrt{x} <10^{n+1}\), por lo que la raíz tendrá n cifras enteras.

Vamos, que por cada dos cifras enteras del número, su raíz tendrá una cifra entera.

6. El teorema

Visto lo visto, y solo para los más recalcitrantes, voy a enunciar y demostrar el teorema que justifica el algoritmo. Si no te van las demostraciones, salta hasta el epílogo.

Teorema: sea A un número entero positivo, sea a su raíz entera y r el resto, es decir, que \(A= a^2+r\). Sea B un número de dos cifras (puede ser 00) y b un entero de una cifra que cumple que \((10·2a+b)b \le B+100r<(10·2a+(b+1))(b+1)\). Entonces 10a+b es la raíz entera de 100A+B.

Demostración:

Primero tenemos que demostrar que existe b en las condiciones de la hipótesis: bastará probar que para b = 0 siempre se da la primera desigualdad y que para b = 9 siempre se da la segunda. Entonces el valor b de la hipótesis será alguno de los enteros del intervalo [0, 9].

La primera desigualdad es trivial: haciendo b = 0, \((10·2a+b)b=0 \le B+100r\)

Veamos la otra desigualdad:

Como a es la raíz entera de A, tenemos que \(a^2 \le A<(a+1)^2\). Si r es el resto: \(a^2+r=A<a^2+2a+1\)

Simplificando: \(r<2a+1\). Como r es entero, \(r \le 2a\)

Haciendo b = 9, tenemos que \((10·2a+(b+1))(b+1)\) = (10·2a+10)10=100·2a+100=(*)\)

Como, por hipótesis, \(B<100\) y \(r \le 2a\),

\((*)>100r+B\), con lo que probamos la segunda desigualdad.

Vamos a demostrar que \((10a+b)^2\le 100A+B<(10a+b+1)^2\).

La primera desigualdad:

\((10a+b)^2= \le 100a^2+b^2+2·10a·b=100a^2+b(b+2·10a) = (I)\)

Como \(A= a^2+r\), \(a^2=A-r\). Además, por hipótesis, \((10·2a+b)b \le B+100r\).

Sustituyendo:

\((I)=100(A-r)+b(b+2·10a) =100A-100r+B+100r=100A+B\)

La segunda desigualdad:

\((10a+b+1)^2= (10a+b)^2+1+2(10a+b)=100a^2+b^2+2·10ab+1+2(10a+b)=\)

\(=100a^2+b^2+2·10ab+1+2·10a+2b=(II)\)

Haciendo la sustitución \(a^2=A-r\)

\((II)= 100A-100r +b^2+20ab+1+20a+2b=(III)\)

Como, por hipótesis, \((10·2a+(b+1))(b+1)>B+100r\), desarrollando:

\((20ab+20a+b^1+1+2b>B+100r\)

Por lo tanto:

\((III)>100A-100r+B+100r=100A+B.

Hemos visto que \((10a+b)^2\le 100A+B<(10a+b+1)^2\), es decir, que 10a+b es la raíz cuadrada entera de 100A+B.

7. Epílogo

Nunca he enseñado el algoritmo de la raíz cuadrada. Por dos razones: una, porque pienso que no ayuda a entender nada y es demasiado pesado, demasiado ineficiente, y teniendo calculadoras... Además, en el hipotético caso de que estuviésemos en una isla desierta y tuviésemos la necesidad imperiosa de calcular una raíz cuadrada (¿a alguien se le ocurre un escenario plausible para esto?), siempre podría hacerse por aproximaciones sucesivas, es decir, probando.

La otra razón es que nunca había entrado en el detalle de su porqué y para eso soy muy quisquilloso: no enseño lo que no entiendo (o creo entender, que esa es otra). Ahora que lo he hecho, solo me queda una razón, aunque me sigue pareciendo bastante buena.

Una última cosa: lo anterior es de mi cosecha. Con ello quiero decir que puede haber (casi seguro) formas más sencillas y pedagógicas de plantear el asunto. Yo no las he buscado, pero si alguien nos quiere informar, estaré encantado de incluir su material por aquí.

8. Post scriptum

Daniel Ortega, profesor en el Departamento de Matemáticas de la UAM, nos manda una práctica de programación que les pone a sus alumnos de una asignatura de Primero del Grado de Matemáticas. La práctica trata de una generalización del algoritmo de la raíz cuadrada a raíces de cualquier orden. La idea es obtener el algoritmo dándole la vuelta al binomio de Newton. Es particularmente interesante la descomposición que hace del cuadrado de la raíz siguiendo el binomio porque se ve con absoluta nitidez de dónde sale el dichoso algoritmo.

Respecto de la generalización, es perfecta para una práctica de programación. Sin embargo, para calcular las raíces a mano no sería muy eficaz. Si en el desarrollo de la generalización para el caso de la raiz cúbica, por poner un ejemplo, nos quedamos con la parte derecha de la igualdad, tendríamos 

\[b(3·10^2·a^2+3·10·a·b+b^2)\]

que, reagrupando, da la expresión 

\[(3a^2·100+(3a·10+b)b)b\]

que tampoco es que sea muy manejable, la verdad, pero que es para la raíz cúbica lo análogo a lo que es la expresión \[b(10·2a+b)\] para la raíz cuadrada. Si buscáis por ahí, veréis que es lo que se ofrece como algoritmo de la raíz cúbica.

Una cosa más: hace poco, leyendo un librito de Erwin Schrödinger me encontré con una forma de obtener la raíz cuadrada geométricamente. Resulta sorprendente constatar lo fácil que es el procedimiento comparado con el algoritmo numérico.


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