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Obtención geométrica de la raíz cuadrada. Cuadratura del rectángulo.

Obtener numéricamente la raíz cuadrada de un número puede ser una tarea pesada, pero hacerlo geométricamente es muy fácil: sea p el número del que queremos extraer la raíz.

  1. Dibujamos un segmento de medida uno y, a continuación, uno de medida p. Llamamos A al punto de unión.
  2. Trazamos una semicircunferencia que tenga al segmento 1 + p por diámetro.
  3. Y trazamos una perpendicular al segmento por el punto A de modo que corte a la semicircunferencia en el punto B.

Pues bien: la medida del segmento AB, x, es la raíz cuadrada de p.

 

La demostración es sencilla: los dos triángulos OAB y APB son semejantes (son rectángulos y los ángulos que coinciden en B son complementarios). Por tanto, sus lados son proporcionales:

\[\dfrac{1}{x}=\dfrac{x}{p} \Rightarrow x^2=1·p \Rightarrow x=\sqrt{p}\]

Listo.

Un griego hubiese interpretado esto como la cuadratura de un rectángulo de base p y altura uno, pues el área de un cuadrado de lado x coincide con el área del rectángulo mencionado. Si en vez de uno hacemos que el primer segmento valga q, lo que tenemos es un procedimiento para cuadrar un rectángulo cualquiera de lados p y q. En la figura siguiente, donde los puntos rojos pueden moverse, el cuadrado naranja tiene el mismo área que el rectángulo azul.


Erwin Schrödinger cuenta, en La naturaleza y los griegos, el procedimiento para cuadrar un rectángulo.

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Epsilones. Página + o - matemática de Alberto. Correo: alberto@epsilones.com. En la red desde el 4-7-2002 (ya hace). Última actualización: ver Novedades.
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