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Criterios de divisibilidad

Rodeados de calculadoras, teléfonos inteligentes (¿?) y ordenadores, los criterios de divisibilidad parecen cosa del pasado. Sin embargo, con frecuencia es del estudio de las cosas pequeñas de donde más conocimiento se obtiene. Yo, desde luego, he aprendido mucho de los números estudiando estos criterios de divisibilidad. Lo más interesante ha sido, como es habitual, descubrir que, tras la aparente diversidad de criterios de divisibilidad, se esconde una unidad estructural derivada del propio sistema de numeración.

Me paro en el 25 porque es un número bonito, porque basta para hacerse una idea de los trucos y porque en algún sitio hay que parar.

Nomenclatura

Usaré las mayúsculas para representar números de varias cifras, mientras que las primeras letras minúsculas representarán números de una sola cifra. Reservo las letras m, n, p, q, r y demás para representar números enteros indeterminados.

Para indicar que un número A es divisible por un número N o, lo que es equivalente, que un número A es múltiplo de un número N, colocaré un punto encima del número N. Entre los múltiplos de cualquier número consideraré siempre el cero. Así, la expresión \(A=\dot{N}\) significa que el número A es igual al número N multiplicado por algún número entero.

Por economía, de \(A=\dot{N}\) deduciré que \(\exists{p\in Z}/ A = p·N) sin explicitarlo.

Una última precisión: enuncio los criterios como es costumbre, es decir, señalando las condiciones suficientes para que un número sea divisible por otro. Pero estas condiciones, y así se ve en las demostraciones, son también necesarias. Es decir, que no solo un número N es divisible entre 10 si termina en 0, sino que si se sabe que es divisible entre 10 entonces, necesariamente, termina en 0.

Un teorema

El siguiente teorema proporciona un criterio de divisibilidad para los números compuestos.

Teorema 1

Sean A y B dos números primos entre sí. Sea C el producto de A y B. Entonces un entero Z es múltiplo de C si y solo si Z es múltiplo de A y de B.

Demostración:

Sea Z múltiplo de C

\(Z=\dot{C} \Rightarrow Z=pC \Rightarrow Z=pAB \Rightarrow Z=\dot{A} \wedge Z=\dot{B}\)

Veamos la implicación contraria: sea Z múltiplo de A y B.

\(Z=\dot{A} \wedge Z=\dot{B} \Rightarrow Z=pA \wedge Z=qB \Rightarrow pA=qB \Rightarrow p=\dfrac{qB}{A}\)

Como A y B son primos entre sí y p es un número entero, necesariamente A es divisor de q.

Entonces: \(q=rA \Rightarrow Z=qB=rAB=rC \Rightarrow Z=\dot{C}\)

Nota: es obvio que el resultado es extensible a cualquier número de factores primos entre sí. Como cualquier número puede expresarse como producto de factores primos, este teorema ofrece un criterio universal para los números compuestos, conocidos, eso sí, criterios para las potencias de los números primos:

Si \(Z=a_1^{p_1}·a_2^{p_2}·...·a_n^{p_n}\), con \(a_1, a_2... a_n\) primos, los números \(a_1^{p_1},\ a_2^{p_2},\ ...\ a_n^{p_n}\) son primos entre sí, por lo que si tenemos criterios para cada uno de ellos tendremos un criterio para el número que componen.

El truco del múltiplo de la última cifra

La siguiente construcción permite obtener criterios de divisibilidad para los números primos distintos de 2 y de 5.

Sea \(Z=10B + a\), y C un número primo.

\(Z=\dot{C} \Leftrightarrow 10B + a=\dot{C} \Leftrightarrow B=\dfrac{\dot{C}-a}{10}\)

Sea X un número entero. Sumando Xa en cada miembro tenemos:

\(B+Xa=\dfrac{\dot{C}-a}{10}+Xa=\dfrac{\dot{C}+(10X-1)a}{10}\)

Luego \(Z=\dot{C} \Leftrightarrow B+Xa=\dfrac{\dot{C}+(10X-1)a}{10}\)

Supongamos que \((10X-1)=\dot{C}\). Entonces:

Si \(Z=\dot{C} \Rightarrow B+Xa=\dfrac{pC+qCa}{10}=C\dfrac{p+qa}{10} \Rightarrow B+Xa=\dot{C}\)

Si \(B+Xa=\dot{C} \Rightarrow B=\dot{C}-Xa \Rightarrow 10B=10\dot{C}-10Xa \Rightarrow 10B+a=10\dot{C}-a(10X-1) \Rightarrow 10B+a=\dot{C} \Rightarrow Z=\dot{C}\)

Lo anterior se puede resumir en el siguiente teorema:

Teorema 2

Sean \(Z=10B + a\) y C un número primo. Sea X entero tal que \((10X-1)=\dot{C}\). Entonces: \(Z=\dot{C} \Leftrightarrow B+Xa=\dot{C}\)

Con un ejemplo: queda todo mucho más claro: resulta que para \(X=4\ ,\ 10·4-1=39\) que es múltiplo de 13. Por tanto, el teorema anterior nos da un criterio de divisibilidad para el 13. Sea el número 312: 31+2·4 = 39. Como 39 es múltiplo de 13, 312 también lo es.

Criterios

Divisibilidad entre 2

Un número es divisible entre 2 si su cifra de las unidades es cero o par.

Demostración:

Sea \(Z=10B+a\)

Si \(Z=\dot{2} \Leftrightarrow 10B + a=\dot{2} \Leftrightarrow a=\dot{2}-10B \Leftrightarrow a=\dot{2}\)

Es decir, \(Z=\dot{2} \Leftrightarrow a=\dot{2}\)

Dado que a es un número de una sola cifra, \[Z=\dot{2} \Leftrightarrow a=0 \vee 2 \vee 4 \vee 6 \vee 8\]

*

En realidad, con el mismo gasto podemos enunciar un criterio de divisibilidad para cualquier potencia de dos:

Teorema 3: Un número es divisible entre \(2^n\) si el número formado por sus últimas n cifras es múltiplo de \(2^n\).

Demostración:

Sea \(Z=10^n·B + A\), siendo A un número de n cifras

Si \(Z=\dot{2^n} \Rightarrow 10^n·B+A=\dot{2^n}\Rightarrow A=\dot{2^n}-10^n·B\)

Como \(10^n\) es múltiplo de \(2^n \Rightarrow A=\dot{2^n}\)

Si \( A=\dot{2^n} \Rightarrow Z=10^nB+\dot{2^n}\Rightarrow\)

Como \(10^n\) es múltiplo de \(2^n \Rightarrow Z=\dot{2^n}\)

Es decir, \(Z=\dot{2^n} \Leftrightarrow A=\dot{2^n}\)

Nota: Aplicaremos este teorema en la divisibilidad de 4, 8 y 16.

Divisibilidad entre 3

Un número es divisible entre 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.

Demostración:

Sea \(Z=a+10b+100c+...\)

Si \(Z=\dot{3} \Leftrightarrow a+10b+100c+...=\dot{3} \Leftrightarrow a+b+9b+c+99c+...=\dot{3} \Leftrightarrow\) \(\Leftrightarrow a+b+c+...=\dot{3}-9b-99c-...\Leftrightarrow a+b+c+...=\dot{3}\)

Es decir, \[Z=\dot{3} \Leftrightarrow a+b+c+...=\dot{3}\]

*

Otra forma de obtener el resultado anterior es aplicando teorema 2:

Sea \(Z=10B + a\)

Como \((10·1-1)=9=\dot{3}\), por el teorema 2 para \(X=1\), tenemos que \(Z=\dot{3} \Leftrightarrow B+a=\dot{3}\)

Si se aplica el teorema sucesivas veces se irán sumando las distintas cifras de Z y obtendremos el conocido criterio de la suma (dejo los detalles para el lector).

Divisibilidad entre 4

Un número es divisible entre 4 si el número formado por sus dos últimas cifras es múltiplo de 4.

Demostración:

Consecuencia del teorema 3 para n = 2.

Nota: basta pues quedarnos con las dos últimas cifras y comprobar que el número resultante puede dividirse dos veces seguidas por dos.

Ejemplo: ¿1542991584 es divisible por 4? Sí, porque \(\dfrac{84}{2}=42;\ \dfrac{42}{2}=21\).

Divisibilidad entre 5

Un número es divisible entre 5 si su cifra de las unidades es cero o cinco.

Demostración:

Es identica a la vista en la divisibilidad entre 2:

Sea \(Z=10B + a\)

Si \(Z=\dot{5} \Leftrightarrow 10B + a=\dot{5} \Leftrightarrow a=\dot{5}-10B \Leftrightarrow a=\dot{5}\)

Como a es de una sola cifra, la única forma de que sea múltiplo de 5 es que sea 0 o 5.

Es decir, \[Z=\dot{5} \Leftrightarrow a=0 \vee 5\]

*

De modo simétrico a como hicimos con las potencias de 2, podemos enunciar un criterio de divisibilidad para cualquier potencia de 5:

Teorema 4: Un número es divisible entre \(5^n\) si el número formado por sus últimas n cifras es múltiplo de \(5^n\).

Demostración:

Sea \(Z=10^n·B + A\), siendo A un número de n cifras

Si \(Z=\dot{5^n} \Rightarrow 10^n·B+A=\dot{5^n}\Rightarrow A=\dot{5^n}-10^n·B\)

Como \(10^n\) es múltiplo de \(5^n \Rightarrow A=\dot{5^n}\)

Si \( A=\dot{5^n} \Rightarrow Z=10^nB+\dot{5^n}\Rightarrow\)

Como \(10^n\) es múltiplo de \(5^n \Rightarrow Z=\dot{5^n}\)

Es decir, \(Z=\dot{5^n} \Leftrightarrow A=\dot{5^n}\)

Nota: Aplicaremos este teorema en la divisibilidad de 25.

Divisibilidad entre 6

Un número es divisible entre 6 si es divisible entre 2 y 3.

Demostración:

Es consecuencia del teorema 1, pues 6 = 2·3, y 2 y 3 son primos entre sí.

Divisibilidad entre 7

Un número es divisible entre 7 si al número sin la cifra de las unidades se le resta 2 veces la cifra de las unidades y el resultado es múltiplo de 7.

Demostración:

Sea \(Z=10B + a\)

Como \((10·(-2)-1)=-21=\dot{7}\), aplicando el teorema 2 para \(X=-2\), tenemos que \(Z=\dot{7} \Leftrightarrow B-2a=\dot{7}\)

Ejemplo: sea el número 483.

48 - 2·3 = 42. Como 42 es múltiplo de 7, 483 también lo es.

Nota: con X = 5 también funciona.

Divisibilidad entre 8

Un número es divisible entre 8 si el número formado por sus tres últimas cifras es múltiplo de 8.

Demostración:

Consecuencia del teorema 3 para n = 3.

Nota: basta pues quedarnos con las tres últimas cifras y comprobar que el número resultante puede dividirse tres veces seguidas por dos.

Ejemplo: ¿1542991584 es divisible por 8? Sí, porque \(\dfrac{584}{2}=292;\ \dfrac{292}{2}=146;\ \dfrac{146}{2}=73\).

Divisibilidad entre 9

Un número es divisible entre 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 9.

Demostración:

Es un calco de la demostración de la divisibilidad entre 3.

Sea \(Z=a+10b+100c+...\)

Si \(Z=\dot{9} \Leftrightarrow a+10b+100c+...=\dot{9} \Leftrightarrow a+b+9b+c+99c+...=\dot{9} \Leftrightarrow\) \(\Leftrightarrow a+b+c+...=\dot{9}-9b-99c-...\Leftrightarrow a+b+c+...=\dot{9}\)

Es decir, \[Z=\dot{9} \Leftrightarrow a+b+c+...=\dot{9}\]

Nota: De modo semejante a como se vio en la divisibilidad entre 3, el mismo criteiro se puede obtener aplicando el teorema 2 para \(X=1\), ya que \((10·1-1)=9=\dot{9}\).

Divisibilidad entre 10

Un número es divisible entre 10 si su cifra de las unidades es 0.

Demostración:

Es consecuencia del teorema 1, pues 10 = 2·5, y 2 y 5 son primos entre sí, y la única forma de que un número sea divisible entre 2 y 5 es que termine en cero.

Divisibilidad entre 11

Un número es divisible entre 11 si la diferencia entre la suma de sus cifras en posición par y la suma de las cifras en posición impar es múltiplo de 11.

Demostración:

Sea \(Z=a+10b+100c+1000d+...\)

Si \(Z=\dot{11} \Leftrightarrow a+10b+100c+1000d+...=\dot{11} \Leftrightarrow a+11b-b+c+99c+1001d-d+...=\dot{11} \Leftrightarrow\)

\(\Leftrightarrow a-b+c-d+...=\dot{11}-11b-99c-1001d-...\Leftrightarrow (I)\)

En el miembro derecho de la igualdad anterior aparecen términos de la forma: 11, 1001, 100001... Basta haceer la división para ver que son todos divisibles entre 11 (los cocientes, salvo los dos primeros, son todos de la forma 9090...9091):

\(\dfrac{11}{11}=1\)

\(\dfrac{1001}{11}=91\)

\(\dfrac{100001}{11}=9091\)

\(\dfrac{10000001}{11}=909091\)

Por tanto se tiene que \((I) \Leftrightarrow a-b+c-d+...=\dot{11}\)

Es decir, \[Z=\dot{11} \Leftrightarrow a-b+c-d+...=\dot{11}\]

Ejemplo: sea el número 32105480407.

3+1+5+8+4+7=28; 2+0+4+0+0=6; 28-6=22. Como 22 es múltiplo de 11, 32105480407 también lo es.

Nota: el mismo criterio se puede deducir del teorema 2 para X = -1.

Divisibilidad entre 12

Un número es divisible entre 12 si es divisible entre 3 y 4.

Demostración:

Es consecuencia del teorema 1, pues 12 = 3·4.

Divisibilidad entre 13

Un número es divisible entre 13 si al número sin la cifra de las unidades se le suma 4 veces la cifra de las unidades y el resultado es múltiplo de 13.

Demostración:

Sea \(Z=10B + a\)

Como \((10·4-1)=39=\dot{13}\), aplicando el teorema 2 para \(X=4\), tenemos que \(Z=\dot{13} \Leftrightarrow B+4a=\dot{13}\)

Ejemplo: sea el número 312.

31+2·4 = 39. Como 39 es múltiplo de 13, 312 también lo es.

Divisibilidad entre 14

Un número es divisible entre 14 si es divisible entre 2 y 7.

Demostración:

Es consecuencia del teorema 1, pues 14 = 2·7.

Divisibilidad entre 15

Un número es divisible entre 15 si es divisible entre 3 y 5.

Demostración:

Es consecuencia del teorema 1, pues 15 = 3·5.

Divisibilidad entre 16

Un número es divisible entre 16 si el número formado por sus cuatro últimas cifras es múltiplo de 16.

Demostración:

Consecuencia del teorema 3 para n = 4.

Nota: basta pues quedarnos con las cuatro últimas cifras y comprobar que el número resultante puede dividirse cuatro veces seguidas por dos.

Ejemplo:¿1542991584 es divisible por 16? Sí, porque \(\dfrac{1584}{2}=792;\ \dfrac{792}{2}=396;\ \dfrac{396}{2}=198;\ \dfrac{198}{2}=99\)

Divisibilidad entre 17

Un número es divisible entre 17 si al número sin la cifra de las unidades se le resta 5 veces la cifra de las unidades y el resultado es múltiplo de 17.

Demostración:

Sea \(Z=10B + a\)

Como \((10·(-5)-1)=-51=\dot{17}\), aplicando el teorema 2 para \(X=-5\), tenemos que \(Z=\dot{17} \Leftrightarrow B-5a=\dot{17}\)

Ejemplo: sea el número 442.

44 - 5·2= 34. Como 34 es múltiplo de 17, 442 también lo es.

Divisibilidad entre 18

Un número es divisible entre 18 si es divisible entre 2 y 9.

Demostración:

Es consecuencia del teorema 1, pues 18 = 2·9.

Divisibilidad entre 19

Un número es divisible entre 19 si al número sin la cifra de las unidades se le suma 2 veces la cifra de las unidades y el resultado es múltiplo de 19.

Demostración:

Sea \(Z=10B + a\)

Como \((10·2-1)=19=\dot{19}\), aplicando el teorema 2 para \(X=2\), tenemos que \(Z=\dot{19} \Leftrightarrow B+2a=\dot{19}\)

Ejemplo: sea el número 228.

22+8·2 = 38. Como 38 es múltiplo de 19, 228 también lo es.

Divisibilidad entre 20

Un número es divisible entre 20 si es divisible entre 4 y 5.

Demostración:

Es consecuencia del teorema 1, pues 20 = 4·5.

Divisibilidad entre 21

Un número es divisible entre 21 si es divisible entre 3 y 7.

Demostración:

Es consecuencia del teorema 1, pues 21 = 3·7.

Divisibilidad entre 22

Un número es divisible entre 22 si es divisible entre 2 y 11.

Demostración:

Es consecuencia del teorema 1, pues 22 = 2·11.

Divisibilidad entre 23

Un número es divisible entre 1 si al número sin la cifra de las unidades se le suma 7 veces la cifra de las unidades y el resultado es múltiplo de 19.

Demostración:

Sea \(Z=10B + a\)

Como \((10·7-1)=69=\dot{23}\), aplicando el teorema 2 para \(X=7\), tenemos que \(Z=\dot{23} \Leftrightarrow B+7a=\dot{23}\)

Ejemplo: sea el número 345.

34+5·7 = 69. Como 69 es múltiplo de 19, 345 también lo es.

Divisibilidad entre 24

Un número es divisible entre 24 si es divisible entre 3 y 8.

Demostración:

Es consecuencia del teorema 1, pues 24 = 3·8.

Divisibilidad entre 25

Un número es divisible entre 25 si el número formado por sus dos últimas cifras es múltiplo de 25.

Demostración:

Consecuencia del teorema 4 para n = 2.

Nota: basta por lo tanto que el número termine en 00, 25 o 75.

Resumen

Podemos dividir los números cuya divisibilidad hemos analizado en los siguientes grupos según el tratamiento que reciben:

  1. Potencias de 2: últimas cifras (teorema 3).
  2. Potencias de 5: últimas cifras (teorema 4).
  3. Resto de primos: truco del múltiplo de la última cifra (teorema 2).
  4. Resto de compuestos: productos de números primos entre sí (teorema 1).
  5. Criterios particulares derivados de los anteriores: 3, 9, 10, 11.

En lo anterior se ve con claridad la influencia de la base de numeración decimal que utilizamos: las potencias de 2 y de 5 tienen un tratamiento particularmente sencillo en función únicamente de las últimas cifras. Para los demás números primos necesitamos utilizar el resto de las cifras y buscar un valor X de modo que 10X-1 sea múltiplo del número estudiado (esta expresión solo da números terminados en 9 (cuando X es positivo) o en 1 (cuando X es negativo), por lo que en ningún caso es útil para 2 o 5). El tratamiento de los números compuestos se resuelve a partir de su descomposición en factores primos. Y en algún caso, como el del 3 o el del 11, una adecuada simplificación da lugar a un criterio particularmente eficiente (truco del múltiplo de la última cifra para X = 1 y X = -1, respectivamente).


El truco del múltiplo de la última cifra me lo contó Juan Antonio.
 
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