Epsilones
Fragmentos
Siguenos en Blogger

 ◄
► 
Siguiente

Desarrollo plano de un cilindro oblicuo

Se trata de obtener el desarrollo plano de un cilindro oblicuo de bases circulares. Para ello cortaremos el cilindro por las circunferencias de las bases y por una de sus generatrices. Las dos bases son dos círculos y no presentan por tanto ningún problema. Desarrollar la cara lateral va a ser más complicado porque necesitamos saber la forma que van a tener en el plano los bordes superior e inferior de dicha cara lateral al desarrollarla, y dicha forma no resulta una curva trivial en absoluto. Sea C dicha curva.

Tenemos por tanto un cilindro donde g es una generatriz, r el radio y \(\gamma\) el ángulo que forman las generatrices con las bases. Este ángulo no es recto por ser el cilindro oblicuo.

El proceso que vamos a seguir es el siguiente: cortaremos el cilindro por un plano perpendicular a las generatrices. Lo que se obtiene es una elipse. Cada punto P de C se proyecta siguiendo la dirección de las generatrices en un punto P' de la elipse. La distancia entre P y P' (en azul) será la coordenada vertical del punto P una vez realizado el desarrollo. La coordenada horizontal será la longitud (con signo) del arco de elipse (en rojo) que va de P' hasta el punto de la elipse opuesto al punto de corte con la generatriz.

Coordenada vertical

Vamos a calcular las ecuaciones de la elipse. Para ello necesitamos sus semiejes. El semieje mayor es r, es decir, el radio de las bases del cilindro. Mirando el cilindro de perfil vemos el semieje menor, r'. La perspectiva de las imágenes tridimensionales puede engañar, pero r' es menor que r:

De la imagen se deduce que \(r'=r sen\gamma \ \ \ \ [1]\).

La elipse tiene por tanto semiejes r y r'. Situando el origen de coordenadas en el punto O, sus ecuaciones serán \(\left\{\begin{array}{l} x=r' cos \alpha\\y=rsen\ \alpha \end{array}\right.\)

En concreto, tenemos que la coordenada horizontal de P' es \(x=r'cos \alpha\ \ \ \ [2]\).

Volviendo a la vista de perfil, sea y la coordenada vertical de P:

Tenemos entonces que \(tg\gamma=\dfrac{x+r'}{y}\)

Despejando: \(y=\dfrac{x+r'}{tg \gamma}\)

Sustituimos [2] en la ecuación anterior: \(y=\dfrac{r'cos\alpha+r'}{tg \gamma}\)

Sacando factor común y sustituyendo ahora [1], queda: \(y=\dfrac{r sen \gamma (1+cos\alpha)}{tg \gamma}\)

Simplifcando: \(y=r cos \gamma (1+sen \alpha)\)

Coordenada horizontal

Como dijimos, la coordenada horizontal será la longitud (con signo) del arco de elipse (en rojo) que va de P' hasta el punto de la elipse opuesto al punto de corte con la generatriz.

Las ecuaciones paramétricas de la elipse son:

\[\left\{\begin{array}{l} x=r' cos \alpha\\y=rsen\ \alpha \end{array}\right.\]

Derivando: \[\left\{\begin{array}{l} x=-r' sen \alpha\\y=r cos\ \alpha \end{array}\right.\]

Integrando el modulo de la derivada tenemos la coordenada horizontal buscada:

\[x=\displaystyle\int_{0}^{\alpha} \sqrt{(-r'sen t)^2+(r cos t)^2} \,dt\]

Sustituyendo [1] en la integral: \[x=\displaystyle\int_{0}^{\alpha} \sqrt{(-rsen \gamma sen t)^2+(r cos t)^2} \,dt\]

Simplificando: \[x=r\displaystyle\int_{0}^{\alpha} \sqrt{sen^2 \gamma sen^2 t+cos^2 t} \,dt\]

Las ecuaciones de la línea ondulada que da la circunferencia de una de las bases al desarrollarse sobre el plano son, por tanto:

\[\left\{\begin{array}{l} x=r\displaystyle\int_{0}^{\alpha} \sqrt{sen^2 \gamma sen^2 t+cos^2 t} \,dt\\y=r cos \gamma (1+sen \alpha)\end{array}\right. \ \ \ \ \alpha \in [-\pi,\pi]\] que, como era de prever, solo dependen del radio y el ángulo de inclinación del cilindro.

La curva resultante se puede ver en la figura siguiente:

Utilizando las ecuaciones anteriores y completando lo necesario, tenemos el desarrollo del cilindro oblicuo de bases circulares:

Sugerencia: imprime, recorta y comprueba.

***

Un comentario sobre el área lateral

Si me puse a pensar en este desarrollo es porque encontré en un libro de secundaria de 3º de ESO un ejercicio consistente en calcular el área lateral de un cilindro oblicuo de bases circulares sabiendo su altura y el radio de sus bases.

Visto el desarrollo anterior, el área pedida sería el producto de la generatriz por el perímetro de la elipse resultante de cortar el cilindro con un plano perpendicular a la generatriz (si en el desarrollo cortamos el saliente curvo superior y lo añadimos por abajo tendremos un rectángulo de altura la generatriz y anchura el perímetro de la mencionada elipse). Es decir: \[A_l=g·r\displaystyle\int_{0}^{2\pi} \sqrt{sen^2 \gamma sen^2 t+cos^2 t} \,dt\]

Es evidente que a) falta un dato (el ángulo \(\gamma\)) y b) que la cosa excede el nivel de 3º de la ESO (tengo que pedirle disculpas a mis alumnos).

Buscando en internet, por si hubiera otra forma de atacar el problema, he encontrado que el sitio The Math Forum confirma lo dicho anteriormente. Sin embargo, en la página Mathinary se dice que el área lateral es igual a \(2\pi r g\), lo cual no es, evidentemente, lo mismo.

La cosa es que he seguido buscando y he encontrado más páginas con la fórmula \(2\pi r g\) para el área lateral. Esto requiere una explicación y un comentario. La explicación de que aparezca esta fórmula errónea es que están confundiendo cilindros oblicuos de base circular con cilindros oblicuos de sección circular. En estos últimos, el resultado de cortar un clindro circular con un plano no perpendicular a la generatriz, la fómula es correcta, siendo r el radio de la sección circular del cilindro. Pero en este caso las bases no son círculos, sino elipses.

Dicho de otro modo: el área lateral de un cilindro es siempre igual al producto de la generatriz por el perímetro de la sección obtenida al cortar el cilindro por un plano perpendicular a las generatrices. Por tanto, el perímetro mencionado será el de las bases solo cuando el cilindro sea recto y dichas bases coincidan por ello con la sección.

En cuanto al comentario... bueno, es sencillo: ojo con lo que os encontráis en la red...


► Archivo GeoGebra

 
Comentarios
Epsilones. Página + o - matemática de Alberto. Correo: alberto@epsilones.com. En la red desde el 4-7-2002 (ya hace). Última actualización: ver Novedades.
Siguenos en Blogger
 

 

Con esto se termina la página:

El contenido de esta página requiere una versión más reciente de Adobe Flash Player.

Obtener Adobe Flash Player