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Proposición 32 del primer libro de los Elementos de Euclides

La proposición 32 del primer libro de los Elementos de Euclides establece que la suma de los tres ángulos de un triángulo es igual a dos ángulos rectos. Exactamente, dice:

En cualquier triángulo, si uno de los lados es prolongado, entonces el ángulo externo es igual a la suma de los dos ángulos internos y opuestos, y la suma de los tres ángulos internos del triángulo es igual a dos rectos.

La demostración de Euclides sigue los siguientes pasos:

1. Se prolonga \(\text{B} \Gamma\) hasta \(\Delta\). Ángulo \(\text{A} \Gamma \Delta\)

2. Se dibuja \(\Gamma \text{E}\) desde \(\Gamma\) y paralela a \(\text{AB}\) [Proposición 1.31]

3. \(\text{AB}\) y \(\Gamma \text{E}\) son paralelas y \(\text{A} \Gamma\) las corta, los ángulos \(\text{BA} \Gamma\) y igual \(\text{A} \Gamma \text{E}\) son iguales [Proposición 1.29]

4. \(\text{AB}\) y \(\Gamma \text{E}\) son paralelas y \(\text{B} \Delta\) las corta, los ángulos \(\text{E} \Gamma\Delta\) y \(\text{AB}\Gamma\) son iguales [Proposición I.29]

5. Por tanto, \(\text{BA} \Gamma+\text{AB}\Gamma =\text{A} \Gamma \text{E}+\text{E} \Gamma\Delta\)

Como \(\text{A} \Gamma \text{E}+\text{E} \Gamma\Delta=\text{A} \Gamma \Delta\), se tiene que

\(\text{BA} \Gamma+\text{AB}\Gamma=\text{A} \Gamma \Delta\), primer resultado.

6. Sumando \(\text{A} \Gamma \text{B}\) en los dos miembros de la igualdad anterior, tenemos 

\(\text{A} \Gamma \text{B}+\text{BA} \Gamma+\text{AB}\Gamma=\text{A} \Gamma \text{B}+\text{A} \Gamma \Delta\)

Por la [Proposición I.13] \(\text{A} \Gamma \text{B}+\text{A} \Gamma \Delta=\text{dos rectos}\)

Luego \(\text{A} \Gamma \text{B}+\text{BA} \Gamma+\text{AB}\Gamma=\text{dos rectos}\)


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► Laboratorio: Libro I de los Elementos de Euclides.

 
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