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Figuras de Lissajous: dibujando el sonido I

Esta historia sigue en Figuras de Lissajous II.

Lissajous y los diapasones

Afinar un instrumento musical es un problema. Salvo aquellos con un oído absoluto, la mayoría de los mortales necesitamos una referencia para poder reproducir un sonido. Para ello, hoy día se utilizan afinadores electrónicos que miden la frecuencia del sonido emitido. Sin embargo, a falta de electrónica, se usaban, y se usan, unas orquillas de metal que al golpearlas producen una cierta nota: los diapasones.

El problema entonces es saber si un diapasón está bien construído, es decir, si produce la nota esperada. Jules Antoine Lissajous, un fisico francés de mediados del siglo XIX, encontró un método para saber si dos diapasones producen exactamente la misma nota: dibujar el sonido. Con ello, a partir de un diapasón que sirviese como patrón, se podría evaluar la calidad de los nuevos diapasones.

Lissajous hizo varios experimentos para traducir en imágenes movimientos vibratorios. Uno de ellos es el que muestra la figura: colocó en un diapasón un espejito y proyectó sobre él un rayo de luz. Al hacer vibrar el diapasón, el espejito vibró solidariamente con él, y el rayo de luz, al incidir sobre una pantallla, produjo una bonita curva sinusoidal.

A continuación se le ocurrió hacer que el rayo de luz incidiese sobre dos espejos colocados sobre dos diapasones. Con diapasones paralelos obtuvo los previsibles patrones de interferencia. Pero lo más interesante vino cuando colocó los diapasones en perpendicular: proyectó entonces un rayo de luz sobre un espejo y arregló el sistema para que el reflejo de dicho rayo incidiese en el otro espejito y el rayo acabase, finalmente, proyectado en una pantalla. Como antes, al hacer vibrar los diapasones, los espejitos, solidarios con ellos, también lo hacen, de modo que el rayo de luz se mueve. Pues bien, Lissajous vio que, dependiendo de la frecuencia del sonido emitido por cada diapasón, la figura que el rayo de luz dibujaba sobre la pantalla es distinto. Lissajous había encontrado el modo de dibujar la relación entre dos notas musicales, es decir, su armonía.

Por poner un ejemplo, si ambos diapasones son unísonos, es decir, emiten la misma nota, lo que veremos en la pantalla será una elipse, un segmento o una circunferencia. Para otras relaciones armónicas, las figuras resultantes serán más complejas.

Dibujando el sonido con muelles

Tanto los sonidos emitidos como los dibujos generados en la pantalla son producto de la vibración de los brazos de los diapasones. Esta vibración es un caso de movimiento armónico simple, es decir, un movimiento que oscila periódicamente respecto de una posición de equilibrio bajo el efecto de una fuerza recuperadora. Para estudiar esta vibración, y calcular sus ecuaciones, vamos a pensar en otro movimiento equivalente y más fácil de comprender: el de los muelles.

Cogemos un muelle, fijamos uno de sus extremos, y unimos el otro a una cierta masa. Es evidente que si estiramos el muelle más allá de su posición de equilibrio, este se contraerá, pasará por dicha posición de equilibro, llegará a un mínimo e inicará el camino inverso. Si no consideramos ningún rozamiento, el muelle repetirá este proceso indefinidamente. La velocidad y frecuencia dependerán de la masa que unamos al muelle, de la posición inicial y de la constante de elasticidad del muelle (\(k_1\)).

Para simular las vibraciones que los dos diapasones perpendiculares transmiten al rayo de luz, vamos a sustituir ahora la masa del extremo libre del muelle por una plataforma perpendicular al movimiento en la que vamos a fijar un segundo muelle al que unimos una segunda masa.

En la construcciòn de la derecha, el botón Animación nos permite ver el sistema en funcionamiento. Y la opción Curva toda la trayectoria de una vez. Las condiciones inicales se han elegido para que la frecuencia de ambos muelles sea la misma (iguales masas, iguales constantes de elasticidad), por lo que, como dijimos, la trayectoria resultante es elíptica. Pero cambiando las constantes de elasticidad \((k_1,\ k_2)\) aparecerán curvas completamente distintas.

Visto el modelo, vamos a obtener las ecuaciones del movimiento de la masa movida por el segundo muelle, lo que nos permitirá estudiar las trayectorias con más detenimiento y, al ser modelos equivalentes, las figuras asociadas a cada par de sonidos. Si el asunto de las ecuaciones no va contigo, puedes pasar al segundo capítulo de esta historia.

La ecuación del muelle (un poco de física)

Los físicos nos dicen que la fuerza que ejerce el muelle sobre la masa es proporcional a la elongación, es decir, a la distancia a la que llevamos el muelle del punto de equilibrio, y de sentido contrario: si lo estiramos, la fuerza hará por contraer el muelle, y si lo comprimimos, por estirarlo.

Es decir: \[f=-kx\]

Como sabemos que \(f=ma\), siendo m la masa y a la aceleración, tenemos que \(ma=-kx\).

Despejando, \[a=-\dfrac{k}{m}x\]

La aceleración es una función del tiempo, por lo que la ecuación anterior es una ecuación diferencial: \[\dfrac{d^2x}{dt^2}=-\dfrac{k}{m}x\] cuya solución es \[x(t)=Asen\left(\sqrt{\dfrac{k}{m}}t+\phi\right)\]

Veamos que significa cada símbolo.

  1. Como el seno se mueve en el intervalo [-1,1], la elongación se moverá entre [-A, A], de modo que A es la amplitud del movimiento.
  2. Al término \(\left(\sqrt{\dfrac{k}{m}}t+\phi\right)\) se le llama fase. La elongación del muelle en el momento t = 0 es, \(x(0)=Asen(\phi)\), por lo que a \(\phi\) se le llama fase inicial.
  3. ¿Y el coeficiente de la t? Vamos a llamar \(\omega\) a \(\sqrt{\dfrac{k}{m}}\). Sabemos que la función seno es periódica de periodo \(2\pi\). Entonces, si T es el periodo de x(t), tenemos: \(sen((\omega t+\phi) +2\pi)=sen(\omega (t+T)+\phi)\), de donde se deduce que \(\omega=\dfrac{2\pi}{T}\), es decir, que \(\omega\) es la frecuencia angular.

Así la ecuación del muelle queda

\[x(t)=Asen(\omega t+\phi)\]

que es, en general, la ecuación de un movimiento armónico simple.

Las ecuaciones de dos muelles perpendiculares

En el sistema de dos muelles, cada uno de ellos nos da una coordenada:

\[\left\{\begin{array}{l} x(t)=A_1sen(\omega_1 t+\phi_1)\\y(t)=A_2sen(\omega_2 t+\phi_2)\end{array}\right.\]

Para simplificar un poco las cosas, vamos a clacular la diferencia de fase entre los dos muelles. En el caos del primer muelle, su fase será cero cuando \(\omega_1 t+\phi_1=0\). Despejando, tenemos que eso ocurrirá cuando \(t=-\dfrac{\phi_1}{\omega_1}\).

Sustituyendo en la ecuación del segundo muelle, tenemos \(y(t)=A_2sen(\omega_2 (-\dfrac{\phi_1}{\omega_1})+\phi_2)\). Por lo tanto, cuando la fase de x(t) es cero, la de y(t) es \(\phi_2-\dfrac{\omega_2}{\omega_1}\phi_1\). Llamando \(\delta\) a esta diferencia de fase, quedan las ecuaciones paramétricas:

\[\left\{\begin{array}{l} x(t)=A_1sen(\omega_1 t)\\y(t)=A_2sen(\omega_2 t+\delta)\end{array}\right.\]

Finalmente, haciendo \(A_1=A_2=1\) (las amplitudes solo influyen en el tamaño de las figuras), tenemos

\[\left\{\begin{array}{l} x(t)=sen(\omega_1 t)\\y(t)=sen(\omega_2 t+\delta)\end{array}\right.\]

La representación de estas ecuaciones se puede ver en la continuación de esta historia: Figuras de Lissajous II.


Motivación

Hace un año Luis Gómez me envió los hermosos gráficos de la figura de la derecha. Los encontró en El libro de las curvas, de Olalquiaga y Olalquiaga, aunque no son de allí. Los de la izquierda se supone que pertenecen al libro Index to the Geometric Chuck, de Thomas Bazley, aunque lo cierto es que, pese a aparecer allí miles de figuras, entre ellas no he encontrado la que nos ocupa.

Sin embargo, las curvas que llamaron mi atención son las de la derecha, las que aparecen sobre fondo negro. En concreto, en las dos columnas de la izquierda reconocí las figuras de Lissajous, de las que me habló por primera vez hace muchos años mi compañero Paco Carbajo. Las programé en Pascal, y lo hice mal, ahora lo sé, porque simule una masa sujeta a varios muelles que tiraban de ella. Salieron curvas interesantes, pero no eran las de Lissajous.

He localizado estas figuras en la obra Harmonograf, de Anthony Ashton, aunque, por las referencias, no tengo claro si son originales de allí.

Cuando uno busca en la red las figuras de Lissajous aparecen inevitablemente unos grabados representando sus experimentos, los mismos que he reproducido más arriba: ambos corresponden a la obra Sound, de John Tyndal.

Para mayor gloria de internet, algunas de las obras mencionadas, también el artículo original de Lissajous, se pueden leer en la red.

Archivos GeoGebra

Bibliografía

Webs

Bestiario: física.

 
Comentarios
Epsilones. Página + o - matemática de Alberto. Correo: alberto@epsilones.com. En la red desde el 4-7-2002 (ya hace). Última actualización: ver Novedades.
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