Historia abreviada de la geometría

Allá por el lejanísimo julio se me encargó un artículo para una nueva revista cultural. Mi respuesta a tal petición fue La geometría de las nubes, una historia poética y abreviada de la geometría en medio folio. Como apoyo al texto incluí algunas imágenes fractales con apariencia natural: helechos, montañas, nubes...

Finalmente, por no coincidir mi escrito con el perfil de los potenciales lectores de la revista, mi artículo fue rechazado. C'est la vie. Como pienso que sí puede adecuarse al perfil de al menos algunos de los lectores de Epsilones, aquí va.

Para generar el helecho utilicé un programa ya incluido en Epsilones, el genifs.exe, mientras que para el resto de las imágenes tuve que programar uno nuevo: le llamé natura.exe: no enseña nada pero es bonito de ver.

El perro geómetra de Pavlov

Bertrand Russell, en su imprescindible libro El conocimiento humano, p.65, haciendo gala de su conocida capacidad de sarcasmo nos cuenta una historia de mala práctica científica:

"El vehículo del placer, el dolor y el deseo con la formación de hábitos puede estudiarse experimentalmente. Pavlov, cuya obra en ninguna parte apela a la introspección, colocó a un perro frente a dos puertas, en una de las cuales había dibujado una elipse y en la otra un círculo. Si el perro elegía la puerta correcta, recibía su comida; si elegía la puerta equivocada, recibía una descarga eléctrica. Así estimulado, los progresos del perro en geometría fueron notablemente rápidos. Pavlov redujo gradualmente la excentricidad la elipse, pero el perro aún distinguió correctamente; hasta que la proporción del eje menor con respecto al mayor quedó reducida a 8:9, y el pobre animal sufrió un colapso. La utilidad de este experimento en lo que concierne a escolares y criminales, es obvia."

Vale que eran otros tiempos, pero lo de Pavlov no tiene nombre.

Pirindola mutante

Estaba yo husmeando en la sección de juguetes de unos almacenes de artículos manufacturados muniqués (sí, si, tengo 45 y me gustan los juguetes, ¿pasa algo?) cuando me encontré con este pequeño artilugio. Por un lado se trata de una simple pirindola de esas que tras imprimirles con los dedos un movimiento circular son capaces de mantenerse en equilibrio durante un buen rato.

Lo que hace especial a esta pirindola es que está compuesta de dos partes iguales y simétricas respecto de un plano que contiene a su eje. Estas dos partes pueden girar respecto de un eje contenido en el disco, como se puede ver en la imagen de arriba. Si el giro es equivalente a un ángulo recto lo que obtenemos es un nuevo objeto capaz de desplazarse por el plano apoyándose alternativamente en uno y otro de las dos semicircunferencias resultantes.

Gracias a que su centro de masas está siempre a la misma distancia del suelo apoyemos como apoyemos el objeto, todas las posiciones son igualmente estables, lo cual permite un movimiento fácil y suave.

En realidad un objeto semejante ya había aparecido por Epsilones: si imaginamos su envoltura convexa (un cuerpo que le contiene y que contiene también a todos los puntos del espacio que están situados entre dos puntos del objeto) lo que veremos será un esfericono.

Nota: Ekain Jiménez nos hace saber que el escultor J. Oteiza investigó sobre estas formas en los años 50, y propone como ejemplo un vínculo del Patio Herreriano. Para los que quieran ampliar su conocimiento de Oteiza, Ekain también nos ofrece algunas fotos de su museo.

El hexágono de Saturno

La bonita fotografía de la derecha, obtenida por el Visual and Infrared Mapping Spectrometer de la University of Arizona que va a bordo de la sonda Cassini-Huygens, muestra una vista nocturna en el espectro visible e infrarrojo del polo norte de Saturno.

Que en una cosa aproximadamente esférica que gira como es un planeta aparezcan estructuras circulares no es de extrañar. Pero que aparezca un hexágono sorprende más. De hecho, si nos fijamos en la ampliación, son por lo menos dos los hexágonos que rodean al polo norte del planeta de los anillos.

A mí me recuerdan las celdas de convección de Rayleigh-Bérnard. Es por decir algo.

Teselas de Penrose en cerámica

La figura de la izquierda muestra un magnífico recubrimiento cerámico desarrollado con teselas de Penrose. Su autor, Rafa Sornosa, nos explica su origen:

"Las teselas son el resultado de un proyecto público. Se trataba de hacer un cartel de bienvenida para la Ciudad de Manises (mi pueblo). Mi actuación se realizaba a dos niveles: uno simbólico -los carteles, concretamente
cinco-, y otro estructural, mediante un plan de actuación de marketing urbano, ya que la actividad principal de Manises es, desde hace setecientos años, la cerámica.

"Los carteles están realizados con porcelana y acero. En ellos figura la leyenda de "Manises" en acero sobre un fondo de teselas de Penrose en porcelana. Estas teselas entroncan y superan la cerámica nazarí, muy presente en la tradición de mi pueblo.

"Hacia 1991 -creo recordar- estaba leyendo La nueva mente del emperador de Roger Penrose: me llamaron la atención las propiedades de las teselas: no periódicas, de simetría quíntuple y cristalográficamente casi imposibles. Estas cualidades las asocié con Manises y su peculiar historia, hoy a punto de disolverse en su inactividad fabril.

"Preparé el proyecto y lo gané."

Rafa, que es además profesor de cerámica, nos dice que sigue trabajando en su taller, que en la actualidad tiene desarrollado un plan para la curva de Hilbert y que solo falta "materializarla".

► Viajes: teselado aperiódico urbano.

Instrumentos de medida de superficies

Una pequeña pero estupenda exposición es la que, hasta el 29 de abril de 2007, se puede ver en el Cabinet des dessins del Musée des arte et métiers de París.

En ella, además de las correspondientes explicaciones, se pueden contemplar instrumentos diseñados para el cálculo de superficies planas o esféricas.

Estos aparatos, mediantes ingeniosos y analógicos mecanismos (estamos hablando de esa época que se desarrolló antes de la invención del transistor y el chip), aplicaban las técnicas matemáticas de integración a la obtención de áreas sobre planos o globos terráqueos.

Uno de los aparatos más sorprendentes es un intégrafo, cacharro que permite, simplemente recorriendo uan curva dada, obtener su curva integral. La idea es simple: el valor de la curva original se transforma punto a punto en la inclinación de un disco que va dibujando una curva para la cual él mismo es trangente.

Y, además, todo es wireless, sin cables, ¡y sin pilas ni baterías!

ICM 2006 Benoit Mandelbrot Fractal Art Contest

Cada cuatro años se celebra el Congreso Internacional de Matemáticas (International Congress of Mathematicians (ICM)), donde los matemáticos de más prestigio se reunen para hablar de sus cosas y, de paso, entregar las medallas Fields.

Charo nos informa que para el último congreso, celebrado en agosto de 2006 en Madrid, se llevó a cabo un concurso para seleccionar una serie de fractales artísticas con las que realizar una exposición. El concurso se llamó ICM 2006 Benoit Mandelbrot Fractal Art Contest, en honor, obviamente, del señor Mandelbrot, y las obras seleccionadas (la imagen de la izquierda es un ejemplo) se pueden ver en la página web: http://www.fractalartcontests.com/2006/about.php.

Caos acuático

La imagen de la izquierda es tan solo la primera instantánea de un pequeño vídeo filmado en la Cité des Sciences et de l'Industrie de París que muestra en funcionamiento la Fuente turbulenta, un "elegante" ejemplo de caos físico: el sistema, compuesto por unos surtidores de agua perfectamente regulares y una rueda de cuyos radios cuelgan unos cubiletes agujereados que reciben el agua, es completamente determinista. Conocemos todos los datos y leyes físicas involucradas en el proceso, por lo demás tremendamente sencillo. Sin embargo, el sistema es tan sensible que en la práctica es imposible predecir su comportamiento: la más mínima alteración en cualquiera de sus parámetros hace que tanto la velocidad como el sentido del giro cambien caóticamente.

Es esta la primera producción en vídeo de Epsilones, por lo que espero que se me perdone el poco movimiento de cámara, cierto temblor en la imagen... y que el único personaje que aparezca sea una espontánea que pasaba por allí... Para descargarlo basta pulsar sobre la imagen (ojo: son 2,65 megas).

Reloj "digital"

Julio nos envía este "reloj digital" accesible para todos en internet. Su utilidad es prácticamente nula dado que coge la información del propio ordenador, pero resulta inigualable como herramienta para visualizar el tiempo.

Sobre la manipulación de buscadores tipo Google

En un artículo muy interesante Juanma cuenta algunos de los secretos de los buscadores tipo Google y avisa de la manipulación que pueden sufrir los resultados de las búsquedas en estos sistemas por parte de quienes conocen sus criterios de selección.

Cuando le pedí una imagen con la que acompañar esta caja, Juanma me envió este cruce contranatura entre Cthulhu y Google ante el que solo se puede decir una cosa: Ph'nglui mglw'nafh Cthulhu R'lyeh wgah'nagl fhtagn. Sea.

Seis grados de separación y el número de Erdös

El tamaño del mundo medido en función de contactos entre humanos está medido: es seis. Así lo afirma al menos la “teoría de los seis grados de separación”, que dice que, por término medio, bastan seis saltos para conectar dos personas cualesquiera del globo. Este dato es experimental. El primer experimento se debe al sociólogo Milgram, aunque posteriormente se han hecho experimentos más completos.

En matemáticas hay algo parecido: se llama el “número de Erdös”: aquellos que copublicaron un artículo con Erdös tiene número de Erdös 1. Aquellos que han copublicado un artículo con alguien que copublicó con Erdös tienen número de Erdös 2, y así sucesivamente. Este número no suele ser muy alto, aunque no sé si existen estadísticas al respecto.

La idea de comentar este asunto me vino cuando leí el siguiente relato de Alejo Rossi: El mundo es un pañuelo. Por cierto, este también es el título castellano de la divertidisima novela de David Lodge Small World, en la cual los personajes tropiezan literalmente los unos con los otros pese a estar permanentemente viajando por todo el mundo.

Matemáticas en el país de las maravillas - Lewis Carrol

Tenemos aquí un interesante trabajo elaborado por Txema Sánchez, estudiante del 2º ciclo de la Licenciatura de Matemáticas en la Universidad de Cádiz, para la asignatura "Desarrollo del Pensamiento Matemático".

En él, junto a un repaso a la biografía de Lewis Carrol, seudónimo del matemático Charles Lutwidge Dodgson, Txema incluye un análisis psicológico y matemático de las dos obras que protagoniza esa niña algo cursi e impertinente que es Alicia y que hicieron universalmente famoso al inglés: Alicia en el país de las maravillas y Alicia a través del espejo.

El trabajo está en formato pdf y se puede descargar aquí (1,21 Mb).

Por cierto: ¿sabíais que antiguamente los sombrereros efectivamente acababan locos debido al mercurio que usaban para tratar los sombreros de fieltro? Eso al menos es lo que dice Philip K. Dick...

La topología del universo

Imaginémosnos un poliedro, por ejemplo un cubo, en el que las caras opuestas están identificadas, en el sentido de que si un rayo de luz nacido en el interior del cubo sale por una de las caras entrará de nuevo en el espacio interior del cubo por la cara opuesta.

La consecuencia de esta configuración es que un observador situado en el interior puede ver una misma fuente de luz como proveniente de varios puntos distintos. Por un lado tendrá una imagen que podemos considerar original y que llegará a través del camino directo. Por otro, varias copias formadas por rayos de luz que han viajado a través de las caras del poliedro le proporcionarán nuevas imágenes del mismo objeto.

Algo parecido a esto podría estar ocurriendo en el universo. Algunos cosmólogos proponen que la topología del universo consiste en una célula poliédrica en la que algunas de sus caras estarían identificadas. De ser así, una primera consecuencia sería que el universo es mucho más pequeño de lo que pensamos. Otra, que muchas de las luces que vemos en el cielo en realidad son copias de los mismos objetos. De hecho, alguna de esas luces podrían ser la Vía Láctea o incluso nuestro propio sol.

Estas teorías no contradicen la relatividad general, pues la geometría del espacio que predice la teoría de Einstein es local y nada dice de la topología global del universo. De hecho, las mismas ecuaciones pueden ser coherentes con distintas topologías.

Dice Jean-Pierre Luminet que el modelo que más se ajusta a las observaciones recientes de la radiación de fondo es el espacio esférico dodecaédrico de Poincaré (de ahí la ilustración). Una forma de corroborarlo experimentalmente es la llamada cristalografía cósmica, consistente en la búsqueda de correlaciones estadísticas entre objetos celestes lejanos.

Buzamiento

Llaman los geólogos buzamiento a la inclinación de una capa del terreno. No sé con exactitud el ángulo de este que se ve en la fotografía, pero es impresionante. La fotografía está tomada en un mirador que hay entre Deba y Getaria (País Vasco).

Bestiario: geología.

La Luna de John Russel

Es bonita esta fotografía de la Luna, ¿verdad? Pues sí, es una hermosa imagen, pero no es una foto, sino un óleo pintado en 1795 por el retratista inglés John Russell.

La conozco gracias a la reproducción que aparece en la Historia de la belleza de Eco.

Un tornillo de Arquímedes en la feria

Arquímedes inventó su famoso tornillo para sacar el agua de los ríos y llevarla hasta los edificios. Sin embargo, hace cien años a alguien se le ocurrió utilizarlo como atracción de feria: los pasajeros se montaban en unas barquillas en las que eran subidos hasta lo alto de una torre. Al tiempo que veían el tornillo espiral girar a su alrededor la barquilla iba avanzando lentamente en línea recta.

Aunque la noticia de entonces decía que "El artefacto ofrece gran diversión", no me imagino al público de hoy divirtiéndose a esas velocidades.

Mnemotécnico inglés para pi

Si contamos el número de letras de cada una de las palabras de la frase siguiente, tendremos las primeras cifras del número π:

“How I need a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics.”

Algo sobre las abejas

Luis Gómez, en su artículo Algo sobre las Abejas, habla de algunas de las fuentes clásicas acerca de las habilidades geométricas de estos laboriosos insectos.

Para dar el contrapunto escéptico, aquí va una cita de Hermann Weyl sacada de su libro Simetría, p.69:

"Como las abejas, que vienen a ser todas de tamaño parecido, construyen sus celdas girando sobre ellas, las celdas formarán un empaquetamiento de máxima densidad de cilindros circulares paralelos que en sección tiene el aspecto de nuestro esquema hexagonal de círculos [ver abajo]. Mientras las abejas están trabajando, la cera está en estado semifluido y entonces las fuerzas de capilaridad, más bien que las fuerzas ejercidas por los cuerpos de las abejas, transforman los círculos en hexágonos circunscritos (cuyas esquinas, no obstante, aún exhiben algunos restos de la forma circular)."

Máquina granítica

Las esculturas de Arthur Ganson son, a la vez, máquinas. Esta que se muestra, llamada Máquina granítica, del Technorama de Winterthur, el museo de la ciencia de Suiza, está movida por un pequeñó motor eléctrico y consta de doce pasos de reducción. Teniendo en cuenta que la razón de reducción es q = 1:50 y que la velocidad del motor es ω = 200 vueltas por minuto, basta aplicar la fómula
T = 1/(ωqⁿ), siendo n el número de reducciones, para obtener el tiempo que tardará la última rueda dentada, la doce, en dar un giro completo: 2'32 billones de años, que viene a ser unas 169 veces la duración estimada del universo.

Eso es, sin duda, tomarse todo el tiempo del mundo.

Vaca geométrica

La Cow Parade es una muestra de vacas decoradas por artistas plásticos que han donado los frutos de su trabajo (las vacas están patrocinadas por empresas e instituciones) para la financiación de obras sociales.

Una de las ciudades sede del evento ha sido Praga, y en ella encontré esta estupenda vaca geométrica. No tengo ni idea de lo que nos quiere contar el autor con ella, ni si nos quiere contar algo, pero no me extrañaría nada que la obra fuese una mirada irónica a la manida influencia de la matemática en el arte, o quizá también una parodia de los a veces ridículamente simplificados modelos matemáticos del mundo (► chiste de la vaca).

También se podría pensar en un despiece cuasi-fractal de la pobre vaca.

Pequeño Sierpinsky Oriental

Un sistema de funciones iteradas (IFS) consiste en una colección de aplicaciones contractivas que se aplican sobre un conjunto compacto de modo iterado. Dicho de otra forma: realizamos distintas copias del dibujo, las reducimos y cambiamos su posición y quizá su forma. Con el dibujo obtenido repetimos el proceso y así sucesivamente. El resultado final de este proceso infinito se llama atractor [Estructuras fractales, p. 155 y ss].

En muchas ocasiones el atractor obtenido es fractal, como en el caso del triángulo de Sierpinski. Algo sorprendente de los sistemas de funciones iteradas es que la elección de la figura inicial no influye sobre el resultado final: da igual que partamos de un cuadrado, de un círculo, del dibujo de un elefante, o del T'ai-chi T'u, como ha hecho Andrés.

Conferencias Bridge

Estas conferencias, cuyo subtítulo es "Mathematical Connections in Art, Music, and Science", pretenden precisamente eso, que las matemáticas sirvan de puente entre artes y ciencias.

Es su página web, http://www.sckans.edu/~bridges/, se pueden encontrar las siguientes secciones: Mathematical Visualization, Mathematics and Music, Computer Generated Art, Symmetry Structures, Origami, Mathematics and Architecture, Tessellations and Tilings, Aesthetical Connections between Mathematics and Humanities, Geometric Art in Two and Three Dimensions, Geometries in Quilting.

Una de las más atractivas es la de arte geométrico, con enlaces a la obra de varios autores, como Michael Leyton, del que vemos a la izquierda una de sus creaciones.

111 aniversario de Gaston Julia

El tres de febrero del año 2004 se cumplió el 111 aniversario del nacimiento de Gastón Julia, padre de los conjuntos fractales que llevan su nombre y que tan famosos se han hecho, décadas después de los trabajos del matemático francés, gracias a los gráficos por ordenador.

Como prueba de lo que dichos conjuntos han hecho por la imagen pública de las matemáticas, Charo nos manda el rótulo que exhibió el buscador Google precisamente en esa fecha.

Lo curioso del asunto es que la página que Google propuso en primer lugar para las palabras clave "Julia Fractal" se vió colapsada ante la enorme cantidad de accesos que recibió. Es lo que se llama morir de éxito. [El País, 12-2-2004, Ciberp@ís, p.9.]

Estructura fractal de organizaciones sociales

Unos investigadores catalanes han hecho un estudio de la estructura social del personal de la Universidad Rovira i Virgili basándose en los rastros digitales de los correos electrónicos, y lo que han encontrado es que dicha estructura (representada gráficamente en la figura) es de tipo fractal.

En concreto se parece al patrón de distribución de las cuencas fluviales, lo cual se traduce en que existe un paralelismo entre la forma en que los ríos se desarrollan sobre el terreno y el modo en que los humanos nos organizamos.

La analogía entre fenómenos en principio tan diferentes consiste en que los ríos fluyen "por el territorio por la diferencia de gradiente empleando para ello el principio de mínima energía", mientras que "la solución de un problema no se encuentra siguiendo el orden jerárquico o un esquema predefinido", sino dando "con el camino más corto o la línea más recta". Es decir, que buscamos entre el entramado social el modo más económico de resolver los problemas.

Nota: las citas son de Alex Arenas y Albert Díaz-Guilera, dos de los investigadores.

Máquina encriptadora Enigma

Durante la Segunda Guerra Mundial los alemanes utilizaron varias máquinas encriptadoras. Una de ellas tenía por nombre Enigma.

Lo que hacía simplemente era sustituir unas letras por otras utilizando unos cilindros que conectaban la entrada con la salida. Se usaban tres cilindros, de modo que cada uno de ellos actuaba sobre la salida del anterior.

En cualquier caso, si solo hubiese hecho eso, el descifrado hubiese sido trivial. Pero la máquina contaba con otras características:

• Cada vez que se traducía una letra, los rodillos se movían y cambiaba la clave, de modo que en la misma frase la misma letra se cifraba con caracteres distintos.
• Los rodillos eran intercambiables, y se escogían de entre cinco.
• Tenía un clavijero adicional que permitía cambiar las conexiones de algunos pares de letras.
• El operador elegía la posición inicial de los rotores.

Todo lo cual daba una cantidad inmensa de posibilidades. Además, los ajustes anteriores eran cambiados a diario.

La debilidad de la Enigma estribaba en que para poder descifrar los mensajes era necesario utilizar una máquina igual y con los mismos ajustes que la máquina utilizada para encriptar. Una solución era editar un diario de claves, pero el peligro de esta solució era manifiesto. Se optó por enviar cada día la clave encriptada con la propia máquina utilizando la clave del día anterior.

Pese a todo, Turing y compañía consiguieron descifrar el código Enigma utilizando unas máquinas a las que llamaron Bombas y que estaban construidas a partir de las propia máquina Enigma. Además echaron mano de algunos trucos, como bombardear determinados puestos enemigos con la única intención de obligar a los alemanes a mandar mensajes en los que se hablase de tal localización y así conocer algunas de las palabras que debería de contener el mensaje.

Premio Abel de Matemáticas

Aunque se siga contando, la historia que explica que no hay premio Nobel de matemáticas porque el Sr. Nobel estaba enfadado con los matemáticos a causa de las relaciones algo ilícitas que mantuvo su mujer con uno de ellos (Mittag-Leffler) parece ser apócrifa. La teoría con más visos de ser cierta dice que Nobel tenía un carácter eminentemente práctico y que, simplemente, no pensó en algo tan abstracto como las matemáticas.

Sea como fuere, la Academia Noruega de Ciencia y Letras ha enmendado el entuerto instituyendo, en honor del matemático Niels Henrik Abel, el Premio Abel de matemáticas, dotado con la nada despreciable suma de 760.000 euros.

El primero en recibirlo ha sido Jean-Pierre Serre, del Collège de France, Paris, “por su papel central en la elaboración de la forma moderna de numerosas partes de las matemáticas, en particular la topología, la geometría algebraica y la teoría de números”.

Serre ya recibió, en 1954, a los 27 años, la medalla Fields, el premio de más renombre entre la comunidad matemática. Al menos hasta ahora.

Antenas fractales

La utilidad de los objetos matemáticos puede aparecer en los sitios más sorprendentes. Uno de ellos es el interior de los teléfonos móviles, pues se ha demostrado que las antenas de radiotelefonía con forma fractal (de triángulo de Sierpinski, por ejemplo, como en la foto) resultan más eficientes que las antenas convencionales porque conjugan la robustez de las formaciones aleatorias con la eficiencia de los sistemas regulares.

Nathan Cohen, quien inició los experimentos con antenas fractales en forma de Curva de Koch, y su colega Robert Holfeld demostraron que la eficacia de estas antenas depende de dos criterios: su simetría y su autosimilitud.

Ambigrama de Epsilones

Según podemos leer en la página web Ambigramas, "Un ambigrama es una palabra, frase o figura que admite, al menos, dos lecturas diferentes."

Los hay de varios tipos: por ejemplo, el que aquí ves, especialmente diseñado para Epsilones (gracias, Carlos), posee simetría central, lo cual nos permite girarlo 180º y seguir leyendo lo mismo.

Una nueva carrera: ciencia y ciencia-ficción

Charo nos pasa la siguiente noticia aparecida en el periódico El País el 10-2-2003: "Una universidad del Reino Unido imparte la novedosa carrera de Ciencia y Ciencia-Ficción, de la que acaban de salir los primeros titulados. Uno de ellos ha sido ya fichado por la NASA".

La universidad en cuestión es la de Glamorgan, en Gales, y cuenta efectivamente con una diplomatura de tres años estructurada en módulos complementarios consistentes unos en contenidos puramente científicos y otros en temas más propios de la ficción científica. La idea es explorar las influencias mutuas existentes entre ambos terrenos y explotar las soluciones innovadoras que la ciencia-ficción puede aportar a la resolución de complejos problemas técnicos y científicos.

Los diplomados, se cuenta en la web de la universidad, podrán trabajar en el futuro en periodismo, enseñanza, publicación o investigación.

En el plan de estudios de la carrera se pueden encontrar módulos con títulos tan atractivos como Evolution of Science Fiction; Visions of Society Utopian and Dystopian Science Fiction; Time and the Big Bang; Quantum Worlds in Science Fiction; Travels in Space and Time o Einstein and Relativity.

Fascinante.