Un metro para el pueblo

Al lado del marmol de la foto, una placa dice lo siguiente (en francés):

"La Convención nacional, a fin de generalizar el uso del sistema métrico, hace colocar dieciséis metros-patrón de marmol en los lugares más frecuentados de París.

" Estos metros fueron instalados entre febrero de 1796 y diciembre de 1797. Este de aquí es uno de los últimos que subsisten en París y el único que sigue aún en su sitio original."

Resulta que los revolucionarios franceses no solo se dedicaron a cortar cabezas: también establecieron el sistema de unidades que hoy es prácticamente universal. Para definir una unidad de longitud que pudiera ser común a todos Delambre y Méchain midieron por triangulación el arco de meridiano que va de Dunkerque a Barcelona. Conocido este valor, se definiría el metro como la diezmillonésima parte del arco de meridiano que va del polo al ecuador [La Recherche nº 399].

► Instrumentos.

Un mosaico de Paolo Ucello

Venecia es de esas ciudades que gustan más la segunda vez que las visitas. La primera vez anda uno tan preocupado de cumplir con los ritos y ver lo que hay que ver y de mirar adonde hay que mirar que se pierde precisamente lo que no viene en las guías turísticas.

Un ejemplo es este poliedro, un dodecaedro estrellado para ser exactos, que se encuentra en la famosísima basílica de San Marcos: para verlo uno debe preocuparse de mirar al suelo y no hacía arriba, como es la costumbre. Está junto a una de las puertas de la fachada principal, y es pisoteada por miles de personas todos los días.

Gardner, en su Carnaval Matemático (p.112), dice que este poliedro fue descubierto por Kepler, mientras que Lakatos, más modesto, afirma en su Pruebas y refutaciones (p.33) que Kepler fue el primero en discutirlo. En lo que ambos coinciden es que lo llamó "erizo".

Lo curioso del asunto es que en varios lugares se atribuye el mosaico en cuestión al pintor y mosaiquista Paolo Ucello, lo cual, como se cuenta en www.georgehart.com, sería sorprendente, pues el trabajo de Ucello hubiese precedido al de Kepler en doscientos años.

Por cierto: la representación de la sarta de prismas que rodea al poliedro tiene una interpretación tridimensional que es posible, pero tiene otra que resulta imposible, consistente en imaginar que cada cuenta prismática comparte una arista con la anterior y otra con la siguiente.

► Orden y caos (Escher)

La ría de Bilbao

Un paseo matemático muy recomendable es el que, por la vera de la ría de Bilbao, va desde la plaza del Ayuntamiento hasta el "oxidado" edificio del palacio Euskalduna: en él se puede ver un vaciado monumental de Oteiza (derecha), el muy sideral puente Zubi-Zuri, de Calatrava, el "titánico" Guggenheim de Gehry (izquierda), el Museo Marítimo y la Grúa Carola, y varios edificios más llenos de rectas y curvas y esas cosas que justifican la existencia de Epsilones. Pero es que, además, están los montes, la ría, el cielo...

Una estupenda recuperación de un espacio degradado que a un madrileño como yo, acostumbrado a que las obras solo sirvan para hacer más carreteras y bloques de pisos, le produce una sincera e irrefrenable envidia.

► Matemáticas y vino
► Pirindola mutante

El Atomium

Este raro edificio (porque es eso, un edificio) se construyó para la Exposición Mundial de Bruselas, celebrada en 1958, y fue diseñado por el ingeniero André Waterkeyn.

Sorprende darse cuenta, a mí me pasó, al menos, de que se trata de un cubo al que se le han añadido nueve esferas, una en cada vértice y una más en el centro. Los cilindros que unen las esferas son las aristas y diagonales del cubo. Tal como está colocado genera unas perspectivas que lo hacen parecer, digámoslo así, más esférico, más átomo redondito con sus electrones y eso. Pero no: es un cubo, y representa una molécula de cristal metálico aumentada 165.000 millones de veces.

Otra cosa que me sorprendió es el tamaño, del que las fotos nunca hacen justicia: cada esfera tiene 18 metros de diámetro y la más alta alcanza los 110 metros de altura.

Como fotos del Atomium hay por ahí miles, coloco esta de ahora mismo (agosto-2005), en plenas obras y con grúas incluidas, lo que no quita para que recomiende encarecidamente la fotografía aérea obtenida por Yann Arthus Bertrand.

Museo de Artes y Oficios

Fascinante: máquinas de calcular de Pascal; el telar de Vaucanson (uno de los primeros cacharros programables); astrolabios; esferas armilares; patrones de medida; un super ordenador Cray 2, el péndulo de Foucault... Y laboratorios enteros, y maquetas, máquinas, autómatas...

Una de las salas más espectaculares es la de la foto: la antigua iglesia de Saint-Martin-des-Champs, convertida desde los años de la revolución en "panteón" de la técnica (qué buenas ideas tienen estos franceses). Ver allí dentro las primeras máquinas de vapor, los primeros coches y aviones, y un motor Ariane, es estupendo.

Para rematar la faena, la estación de metro de Arts et metiers está completamente forrada de cobre y decorada con ojos de buey, según el diseño de F. Schuiten, para simular el interior de un submarino.

La Torre Einstein

Muy cerca de la estación de tren de Potsdam arranca la cuesta que sube al Monte del Telégrafo. En él se encuentra un parque científico con varios edificios dedicados a la observación astrónomica. De entre todos ellos destaca la Einsteinturm (La Torre Einstein), construida por Mendelsohn en 1920 y destinada a investigaciones relacionadas con la teoría de la relatividad.

En los libros se dice que es expresionista. Vista allí mismo parece de nata, de juguete. Parece un submarino emergiendo. Parece de Flash Gordon.

Dijo Mendelsohn: "¡Aprovechad la ocasión, construid, transformad el mundo. Pero construid el mundo que os espera. Construid, con la dinámica de vuestra sangre, las funciones de la realidad, iluminad sus funciones en la trascendencia dinámica. De forma sencilla y segura como la máquina, clara y atrevida como la construcción" [Historia de la arquitectura, p.87].

Para arquitectos: acercaos por allí al atardecer y leed en voz alta el texto anterior.

► Bestiario: torre.

La casa del Maestro

En Berlín hay donde elegir. Está la nueva cúpula del Reichstag con su impresionante cono interior de espejos (drch.); o la no menos impresionante cúpula asimétrica de uno de los nuevos complejos de la Potsdamer Platz. Incluso pensé en alguna de las soviéticas perspectivas que se pueden obtener desde la Karl Marx Alle.

Sin embargo, he decidido destacar este enorme mural al viejo estilo socialista que adorna la casa del Maestro de la Alexander Platz.

Y es que, aunque sepa bien que si la ciencia bajo el capitalismo es negocio bajo el comunismo es propaganda, a veces no puedo evitar ponerme melancólico.

Lira arbórea

Un punto de vista erróneo acerca de la simetría suele ser el de pensar que hace falta cierta voluntad o esfuezo para que aparezca, cuando lo cierto es que la forma correcta de pensar es la contraria: lo normal es que haya simetría, y si no la hay es por alguna razón.

En el caso de este pino albar de Gredos, está claro que la simetría se ha resistido ha desaparecer del todo.

Paseando por Copenhague

Copenhague es una ciudad para pasear. De esta forma uno puede recorrer el barrio latino y encontrarse con un busto de Bohr; o disfrutar de sus canales y sus torres doradas, como el campanario helicoidal de la iglesia de El Salvador (Vor Fresers Kirke); o encontrar un chapitel en forma de cuatro serpientes enroscadas, de nuevo helicoidalmente, coronando el edificio de la antigua lonja.

Una de las visitas obligadas es el magnífico ayuntamiento de la ciudad, que cuenta con un patio central extraordinario. Además, vagabundeando un poco por los pasillos del edificio, se pueden ver entre otras decoraciones murales esta pintura del astrónomo Tycho Brahe compás en mano.

Rua da Matemática

En Coimbra, al callejear cuesta arriba camino de la universidad, uno puede encontrarse con una rua dedicada a la matemática (la única que conozco) en el mismo corazón de la zona de las repúblicas, que es como allí llaman a unas residencias de estudiantes autogestionadas de aspecto auténticamente corsario (► ampliación).

Ya en la cima, además de la turística visita a la universidad vieja (la famosa torre, símbolo de la universidad, la Vía Latina, la biblioteca Joaniana...), es absolutamente imprescindible acercarse hasta el Museo de Física.

El lugar es alucinante. Los cuatro costados de dos grandes salas están cubiertos por grandes vitrinas de madera en cuyo interior se pueden ver todo tipo de instrumentos científicos antiguos, incluidas varias anamorfosis. Parece ser que se trata de una colección que mandó reunir Pombal para la educación de un príncipe que quería hacer ilustrado pero que se le acabó muriéndo.

Lo que no es tan fácil es visitar el lugar en el mismo momento en el que se expone Coimbra na Banda Desenhada, "Coimbra en los tebeos", un recorrido por las apariciones de la ciudad en en el noveno arte. Especialmente evocadora, por las curiosas resonancias que producía, fue la contemplación de originales de la obra El secreto de Coimbra, de Étienne Schréder, varias de cuyas viñetas reproducen el propio Museo de Física mientras desarrollan una historia basada en la de Pombal, su príncipe, y las anamorfosis.

Si encima el cartel es de Schuiten, para qué queremos más.

Rosetón áureo

Cerca de Burgo de Osma, camino de San Leonardo de Yagüe, en la provincia de Soria (España), se encuentra el cañón del río Lobos, una formación natural de origen kárstico modelada por la erosión con paredes calizas de hasta 200 metros de altura.

En las aguas del río Lobos abundan los nenúfares, mientras que el cielo se ve constantemente surcado por los buitres que tienen en las repisas de las paredes del cañón sus buitreras. Desde ellas observan detenidamente a los visitantes.

Un lugar que merece mención aparte es una amplia explanada en la que el río hace un recodo y es cruzado por un puente de madera. A un lado una cueva enorme permite el acceso a su interior, desde el cual se ve perfectamente enmarcada la ermita románica-protogótica de San Bartolomé (San Bartolo para las gentes del lugar). Formó parte de lo que fue el monasterio templario de San Juan de Otero, y con su presencia convierte al paraje en uno de los sitios más evocadores que se puedan imaginar.

En una de sus caras aparece este magnífico rosetón decorado con la estrella de cinco puntas pitagórica, cuyos lados se cortan entre sí exactamente en sección áurea.

Ruinas geométricas

También hay formas curvas, claro: semicírculos en exedras y arcos; círculos en las plantas de los templos vestales; cuartos de esfera en los ábsides; elipses en la planta del Coliseo; o una semiesfera prodigiosa en la cúpula del Panteón que de hecho es fácil imaginar entera gracias a que la altura de las paredes verticales es igual al radio de la cúpula.

De todas ellas, quizá la forma más compleja sea la hélice de la columna trajana, que permite convertir un cilindro de unos 40 metros de altura en una tira de 200 en la que contar las campañas del emperador Trajano con un realismo extraordinario.

Jantar Mantar

Estamos a comienzos del siglo XVIII. Tal es la fama como astrónomo del Maharaja Sawai Jai Singh que el rey de Portugal le envía las tablas astronómicas de Philippe De la Hire (hijo de Laurent De La Hire) para su corrección. Jai Singh lo lograría, y en 1723 publicaría sus propias tablas.

¿Cómo lo hizo? Jai Singh se dio cuenta de que los errores en las tablas astronómicas se deben a que la precisión de los datos está limitada por el tamaño de los instrumentos utilizados. Su solución entonces fue monumental: en vez de los pequeños aparatos de latón habituales, hizo construir enormes instrumentos de observación de piedra, mampostería y marmol del tamaño de verdaderos edificios.

El mayor de los cinco observatorios que construyó este gobernante metido a astrónomo, al que algunos llaman "el Newton de Oriente", es Jantar Mantar, en la ciudad de Jaipur, compuesto por trece instrumentos con los que se puede calcular cosas como la hora del día, la altura de los cuerpos celestes o la posición de las constelaciones con una precisión de hasta un segundo.

En la foto se puede ver un conjunto de doce instrumentos (en realidad de uno solo se ve la sombra) cada uno de los cuales está dedicado a fijar la posición de una de las constelaciones zodiacales.

En Jaipur está además el Palacio del Maharajá, parte de él convertido en un museo que conserva libros milenarios de Euclides y Ptolomeo traducidos al árabe.

Drago cuasi-fractal

Si una de las características de las fractales es que presentan el mismo aspecto al cambiar de escala, las cuasi-fractales son solo aproximaciones finitas, es decir, formas que solo admiten un número finito de aumentos de escala antes de perder la forma original.

Si las escalas de magnificación son suficientes, las cuasi-fractales no se distinguen perceptivamente de las fractales de verdad, hecho que se utiliza con frecuencia en los gráficos por odenador: cuando se construyen fractales mediante procesos iterativos, lo que se representan en realidad son cuasi-fractales, pues el paso al límite generalmente no se puede llevar a cabo.

Otro lugar donde aparecen con frecuencia es en la naturaleza, pues las fractales han demostrado su éxito a la hora de generar estructuras capaces de llegar a multitud de lugares con un mínimo gasto: los sistemas vasculares o nerviosos, las hojas o el crecimiento dendrítico son algunos de los ejemplos más frecuentes.

El drago más famoso es sin duda el de Icod de los Vinos, en Tenerife, pero este del Parque Genovés de Cádiz también es hermoso y es un ejemplo perfecto de cuasi-fractal natural: a partir de la horcadura las ramas repiten el patrón de bifurcación al menos cinco veces.

La esfera armilar del escudo portugués

Según el María Moliner, una esfera armilar es una "Representación mediante aros cuyo centro ocupa la Tierra, de la esfera celeste y las trayectorias de los astros".

Si uno va a Portugal se encontrará con la esfera armilar por todos los sitios: labrada en piedra en fachadas, construida en hierro en hastiales, en baldosines de cerámica como el de la fotografía, o en el escudo de la bandera, la esfera armilar es omnipresente.

Se trata del símbolo característico de Don Manuel, monarca cuyo reinado se caracterizó por las gestas navales que hicieron de Portugal una de las grandes potencias coloniales europeas.

Aquellos viajes y los beneficios económicos que reportaban impulsaron el desarrollo de la astronomía, la cartografía y, por supuesto, las matemáticas, en un claro ejemplo de las relaciones entre poder y ciencia.

Teselado aperiódico urbano

Un teselado es un recubrimiento del plano con un número finito de formas poligonales sin solapamientos. Son ejemplos evidentes de una sola forma los recubrimientos mediante cuadrados, triángulos equiláteros o hexágonos regulares. Otars formas de teselar pueden conseguirse utilizando dos polígonos regulares o polígonos no regulares.

Muchas teselaciones tiene la característica de ser periódicas, lo que quiere decir que se repiten una y otra vez en dos direcciones independientes, aunque muchas otras no lo son, siendo además posible con las mismas formas componer teselaciones periódicas y aperiódicas.

Lo realmente sorprendente es la existencia de teselaciones necesariamente aperiódicas, es decir, conjuntos finitos de formas polígonales que solo pueden recubrir el plano de modo no periódico. Uno de los ejemplos más sencillos fue el propuesto por Roger Penrose, consistente tan solo en dos formas, precisamente las que se pueden ver en la trasera de un banco de cerámica de la Nieuwmarkt, en Amsterdam. Aunque se pueden ver algunas configuraciones prohibidas, como cuando dos piezas se juntan formando un rombo, para un banco no está mal.

► El baúl: Teselas de Penrose en cerámica (Rafa).

El Planetario de Eise Eisinga

En la localidad de Franeker, al norte de Holanda, se encuentra el planetario en funcionamiento más antiguo del mundo.

Lo construyó en el salón de su casa, entre 1774 y 1778, Eise Eisinga, un cardador de lana, para mostrarle a la gente que el hecho de que se fuese a producir una conjunción de planetas no implicaba que fuesen a choca entre sí ni a sacar a la Tierra de su órbita, idea que había hecho cundir el pánico entre el personal.

Para demostrar que tales conjunciones eran solo fenómenos aparentes reprodujo los movimientos de los planetas alrededor del Sol mediante un complejo sistema de engranajes controlado por un péndulo.

Asombra descubrir los pasatiempos que se buscaban algunos en el siglo XVIII.

Bestiario: astronomía.

El reloj astronómico de Praga

Contemplar la plaza de la Ciudad Vieja de Praga es pasear por la historia de la arquitectura, pues gótico, renacimiento, barroco, neoclasicismo y modernismo han conformado una de las plazas más hermosas del mundo. En su mismo centro está el bellísimo reloj astronómico, símbolo de ese viaje por el tiempo y uno de los emblemas de la ciudad.

Praga fue un importante centro astronómico (aquí trabajaron Tycho Brahe y Kepler), de lo cual se pueden encontrar abundantes pruebas en el complejo Clementinum: la biblioteca de la Sala Barroca, con su cuadrado mágico en el techo y su colección de esferas armilares; la Sala Matemática, con pinturas relativas a los distintos sistemas astronómicos; la Torre astronómica, con sus instrumentos de observación y coronada por un magnífico Atlas...

Si eres fetichista, también puedes intentar localizar en las calles de la ciudad la placa en honor de Bernard Bolzano.

Espacio y tiempo

En pocos lugares como en el Observatorio de Greenwich se puede percibir la relación entre el espacio y el tiempo.

Por razones históricas (y comerciales) por allí pasa el meridiano cero, es decir, la semicircunferencia a partir de la cual medimos la coordenada este-oeste, la llamada longitud, en el sistema de coordenadas latitud-longitud que utilizamos para orientarnos sobre la Tierra. Esta longitud cero es, además, la que se adoptó en 1884 como punto de partida para establecer los usos horarios en los que se divide convencionalmente nuestro planeta.

En el museo del observatorio se pueden ver, entre otras muchas cosas, los relojes con los que John Harrison ganó el premio ofrecido por el Parlamento inglés a quien resolviese el problema de la longitud. (El de la foto es el primero de ellos, el H-1.)

Un lugar singular, sin duda.