Generación retórica de curvas famosas

Bajo tan pomposo título se esconde un sencillo programa que trata de visualizar la generación de algunas curvas a partir no de su ecuación sino de su descripción. Por ejemplo, la tractriz es la "trayectoria de un punto arrastrado por otro que se desliza en línea recta". Pues así es como la genera el programa curvas.exe.

Las curvas incluidas hasta ahora son las siguientes:

• Tractriz o curva del perro: trayectoria de un punto arrastrado por otro que se desliza en línea recta. Dicha recta es asíntota de la curva.
• Espiral áurea o de Durero: se compone de cuartos de circunferencia unidos de modo que los radios de dos arcos consecutivos estén en proporción áurea. Los cuadrados que enmarcan dichos arcos tienden a llenar el rectángulo inicial, que es áureo. Se trata de una aproximación a la espiral logarítmica.

Para obtener información sobre cada una de las curvas basta pulsar sobre su nombre.

El programa solo ocupa 32 Kb, es insultantemente fácil de usar y se puede descargar ► aquí.

Descifrado por análisis de frecuencias

SBLY AFL FWY IL UYC VYDQGYC VEC ZYILBYCYC AFL SYWIFSLW EU ÑYVPBL EU EBDL K E UE SQLWSQE LC LU ILCLY IL LGEIQBCL IL UE GQIE SYDQIQEWE SYW CF ECZLBLME IYUYBYCE K CF GESQY ILCLCZLBEWDL IL LCSEZEB E UEC SEILWEC IL ILCLYC CQLVZBL SEVPQEWDLC EUPLBD LQWCDLQW

¿Qué? ¿Se entiende? ¿No? Bueno, es lógico, porque se trata de un criptograma, es decir, un mensaje secreto. Sin embargo, vamos a intentar descifrarlo mediante algunos trucos que aprendí del viejo Poe. Para aplicarlos hace falta conocer algunas técnicas, echarle algo de imaginación y bastante paciencia para probar las distintas conjeturas que se nos vayan ocurriendo.

La idea central, lo que se conoce como análisis de frecuencias, es que no todas las letras aparecen con la misma frecuencia, sino que unas lo hacen mucho más a menudo que otras. Según aparece en la web Introducción a la criptografía, y según un estudio sobre textos del diario El País, la frecuencia de las letras en castellano es aproximadamente la que sigue (en lo sucesivo seguiré la convención criptográfica por la cual las letras del texto plano, es decir, el texto original, se escriben en minúsculas, y las del texto cifrado, en mayúsculas):

Contando los caracteres del texto cifrado, tenemos para cada letra:

• UYC; eC; VaC; C4 y varios finales de palabra con C
• aU; Ua; eU; UaC

que hacen pensar en que U = l y C = s:

SBeY AFe FWY Ie lYs VYDQGYs Vas ZYIeBYsYs AFe SYWIFSeW al ÑYVPBe al aBDe K a la SQeWSQa es el IeseY Ie eGaIQBse Ie la GQIa SYDQIQaWa SYW sF asZeBeMa IYlYBYsa K sF GaSQY IesesZeBaWDe Ie esSaZaB a las SaIeWas Ie IeseYs sQeVZBe SaVPQaWDes alPeBD eQWsDeQW

Volviendo a la tabla de frecuencias, vemos que entre las más frecuentes tenemos la o del texto plano y la Y del cifrado. Al sustituir, varias palabras parecen confirmarlo:

SBeo AFe FWo Ie los VoDQGos Vas ZoIeBosos AFe SoWIFSeW al ÑoVPBe al aBDe K a la SQeWSQa es el Ieseo Ie eGaIQBse Ie la GQIa SoDQIQaWa SoW sF asZeBeMa IoloBosa K sF GaSQo IesesZeBaWDe Ie esSaZaB a las SaIeWas Ie Ieseos sQeVZBe SaVPQaWDes alPeBD eQWsDeQW

Además, la I aparece como candidata para ser la d y la B como r:

SBeo AFe FWo Ie los VoDQGos Vas ZoIeBosos AFe SoWIFSeW al ÑoVPBe al aBDe K a la SQeWSQa es el Ieseo Ie eGaIQBse Ie la GQIa SoDQIQaWa SoW sF asZeBeMa IoloBosa K sF GaSQo IesesZeBaWDe Ie esSaZaB a las SaIeWas Ie Ieseos sQeVZBe SaVPQaWDes alPeBD eQWsDeQW

Quedaría:

Sreo AFe FWo de los VoDQGos Vas Zoderosos AFe SoWdFSeW al ÑoVPre al arDe K a la SQeWSQa es el deseo de eGadQrse de la GQda SoDQdQaWa SoW sF asZereMa dolorosa K sF GaSQo desesZeraWDe de esSaZar a las SadeWas de deseos sQeVZre SaVPQaWDes alPerD eQWsDeQW

Esto ya casi está: se ve que la Z es la p y que la S la c:

Sreo AFe FWo de los VoDQGos Vas Zoderosos AFe SoWdFSeW al ÑoVPre al arDe K a la SQeWSQa es el deseo de eGadQrse de la GQda SoDQdQaWa SoW sF asZereMa dolorosa K sF GaSQo desesZeraWDe de esSaZar a las SadeWas de deseos sQeVZre SaVPQaWDes alPerD eQWsDeQW

Quedaría:

creo AFe FWo de los VoDQGos Vas poderosos AFe coWdFceW al ÑoVPre al arDe K a la cQeWcQa es el deseo de eGadQrse de la GQda coDQdQaWa coW sF aspereMa dolorosa K sF GacQo desesperaWDe de escapar a las cadeWas de deseos sQeVpre caVPQaWDes alPerD eQWsDeQW

Lo que tenemos hasta ahora es los siguiente:

a

b

c

d

e

f

g

h

i

j

k

l

m

n

ñ

o

p

q

r

s

t

u

v

w

x

y

z

E

S

I

L

U

Y

Z

B

C

Si el criptoanalista me conociese sabría que puedo ser lo suficientemente torpe como para elegir la palabra EPSILONES como clave. En tal caso completar la tabla sería trivial y el texto quedaría descifrado.

De todas maneras, tal intuición no nos es necesaria: basta mirar el texto para deducir las nuevas letras q y u de la reveladora secuencia AF, así como que W = n. Sustituyendo:

creo que uno de los VoDQGos Vas poderosos que conducen al ÑoVPre al arDe K a la cQencQa es el deseo de eGadQrse de la GQda coDQdQana con su aspereMa dolorosa K su GacQo desesperanDe de escapar a las cadenas de deseos sQeVpre caVPQanDes alPerD eQnsDeQn

Resumiendo lo obtenido hasta ahora, tenemos:

Observando la tabla de cifrado, la cosa parece bastante clara, y podemos deducir nuevas letras:

que dan:

creo que uno de los motQGos mas poderosos que conducen al ÑomPre al arte K a la cQencQa es el deseo de eGadQrse de la GQda cotQdQana con su aspereMa dolorosa K su GacQo desesperante de escapar a las cadenas de deseos sQempre camPQantes alPert eQnsteQn

Del texto anterior salta a la vista que Q = i. Además, si nos fijamos en las dos últimas palabras, parece claro que un viejo conocido nos dice que P = b:

creo que uno de los motiGos mas poderosos que conducen al Ñombre al arte K a la ciencia es el deseo de eGadirse de la Gida cotidiana con su aspereMa dolorosa K su Gacio desesperante de escapar a las cadenas de deseos siempre cambiantes albert einstein

El resto de letras es evidente. Terminamos:

creo que uno de los motivos mas poderosos que conducen al hombre al arte y a la ciencia es el deseo de evadirse de la vida cotidiana con su aspereza dolorosa y su vacio desesperante de escapar a las cadenas de deseos siempre cambiantes albert einstein

La tabla de cifrado quedaría entonces así:

siendo la clave, efectivamente, EPSILONES (las letras repetidas se ignoran).

Hay que indicar que en el ejemplo que se acaba de descifrar se han hecho varias suposiciones no necesariamente ciertas: se ha supuesto que estaba en castellano, que es mucho suponer; se ha supuesto que estaba cifrado siguiendo un sistema monoalfabético sin repeticiones; se ha dado por hecho que los espacios del texto cifrado correpondían a espacios del texto plano... ¿Que hubiese pasado si alguna de estas suposiciones no hubiese resultado cierta: pues que tras darle vueltas y vueltas hubiésemos hubiésemos empezado a sospechar que así era, hubiésemos entonces cambiado alguna de las suposiciones y vuelta a empezar. Por eso en criptografía es importante cualquier información añadida acerca del mensaje y del criptógrafo que lo ha generado.

La facilidad con que se descifra este tipo de criptografía explica que no se utilice desde hace mucho tiempo cuando se quieren unas comunicaciones realmente seguras. Sin embargo, es revelador saber que durante muchos siglos fue un sistema considerado seguro. Y lo fue, hasta que a alguien se le ocurrió el análisis de frecuencias.

Ilusiones ópticas

Esta práctica trata de engañar al ojo tres veces, y con tales engaños comprobar el hecho de que lo que vemos no es necesariamente lo que hay, sino una hipótesis elaborada por nuestro cerebro aplicando a los datos que le proporcionan los sentidos las experiencias almacenadas.

Primer engaño: construcción de un tribar.

			El tribar es una figura imposible formada por tres barras de sección cuadrada unidas tal como se ve en la ilustración de la derecha. Quizá el lector se pregunte cómo vamos a construir algo que es imposible. Pues muy sencillo: con un recortable.
		Primero se copia la figura de la izquierda en una cartulina o cualquier otro soporte rígido (si se amplía se verá mejor) y se dobla para que quede como en la perspectiva de la derecha. Entonces cerramos un ojo y se coloca la pieza de modo que coincidan los dos puntos señalados con las flechas.
	Al principio no parece que pase nada especial, pero si tenemos un poco de paciencia veremos como nuestro cerebro se convence de que se encuentra ante un verdadero tribar. Naturalmente, se puede fotografiar.

Segundo engaño: un cubo flotante. Este segundo engaño es más fácil de preparar y, sin embargo, más espectacular. Se dibuja el gráfico de la derecha, se recorta y se pega para conseguir la "esquina" de un cuadrado (la pestaña se deja por fuera). Una vez hecho esto, se sitúa sobre la mano apoyando el vértice de modo que quede hacia nosotros la parte cóncava (hueca).
	Entonces se cierra un ojo y se mira fijamente el vértice. A los pocos segundos veremos el cubo convexo, es decir, como si el vértice estuviese hacia afuera. En este momento hay que actuar con cuidado porque es fácil perder la ilusión y lo mejor aún no ha llegado. Si balanceamos la mano de derecha a izquierda o en sentido longitudinal veremos que el cubo parece girar al revés y flotar en el aire.

Tercer engaño: el tamaño de la imagen del espejo.

Este engaño no es nuevo: de hecho, lo experimentamos cada vez que nos miramos en un espejo y creemos estar viéndonos a tamaño natural. Porque eso es lo que parece, ¿verdad?

Sin embargo, no es así: y para comprobarlo, basta realizar, después de la ducha, la siguiente experiencia: con el espejo cubierto de vapor, marcamos en él con un dedo el contorno de nuestra cabeza. Tras la sorpresa de ver que ha sido reducida, podemos tomar medidas para comprobar que la razón de tal disminución es exactamente un medio.

¿Que por qué? Bueno, creo que este es una problema interesante.

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Apéndice:

Relacionado con el segundo engaño tenemos un dragón que nos sigue con la mirada . Para conseguirlo basta descargar el recortable de la derecha y montarlo siguiendo las instrucciones (aconsejo leerlas detenidamente, en especial los dos modos de doblado, "mountain fold" y "valley fold" y, antes de empezar a recortar, marcar los dobleces con unas tijeras). Ojo con la cara del dragón, porque hay que doblarla al revés de lo que parece natural.

Una vez montado, miramos fijamente a la bestia con un ojo cerrado (esto es importante). Pronto veremos que la cara se hace tridimensional. Entonces nos movemos lentamente...

A disfrutar.

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Adventures with impossible figures, p.15; Orden y sorpresa, p.149; Art & Illusion, p.5.
El dragón fue una sugerencia de José. Para más información: http://www.grand-illusions.com/opticalillusions/dragon_illusion/

Curvas con ordenador

Si hay algo fascinante en matemáticas es dibujar curvas. Y más hoy en día cuando transformar ecuaciones en imágenes es cuestión de apretar un botón: gracias a programas como Agrapher, Derive, Maple, Mathematica o muchos otros uno puede experimentar con las ecuaciones, modificar sus parámetros, sus exponentes y coeficientes, quitar y poner términos o combinar funciones para “ver lo que sale”.

Pues esto precisamente es lo que sugiere esta práctica: jugar a dibujar todo tipo de curvas alterando las expresiones que las describen. Veamos qué se necesita:

1. Un programa de representación gráfica. Yo voy a dar los ejemplos escritos en Maple, pero con cualquier otro programa vale.
2. Una breve introducción acerca de los tres sistemas de coordenadas que aquí se van a usar: cartesiano, polar y paramétrico. Precisamente eso es lo que se cuenta en La invención de los sistemas de coordenadas.
3. Una colección de ecuaciones de curvas, para empezar. De eso también tenemos: basta ir a la sala de curvas de la galería de imágenes.

Una vez situados, veamos ejemplos de los distintos tipos de ecuaciones y de las instrucciones Maple necesarias para representarlas. En total son seis ejemplos, uno en cartesianas y otro en polares para tres tipos de ecuaciones: implícita, explícita y paramétricas.

Ecuación implícita:

Expresa una relación entre las coordenadas de cada punto de la curva.

Coordenadas cartesianas: la elipse tiene por ecuación , donde a y b dan la medida de los semiejes mayor y menor respectivamente. Cambiando sus valores obtendremos elipses más o menos excéntricas.

	> restart:with(plots): a:=2: b:=1: implicitplot(x^2/a^2+y^2/b^2=1,x=-2*a..2*a,y=-2*b..2*b);

Coordenadas polares: un buen ejemplo es la curva llamada lemniscata, que tiene por ecuación . El parámetro a controla el tamaño de la curva. Mucho más interesante es el parámetro b, que da el número de "hojas" de la gráfica.

	> restart: with(plots): a:=1: b:=2: implicitplot(r^2=a*cos(b*theta),r=0..5,theta=0..2*Pi,coords=polar);

Ecuación explícita

En algunos casos, cuando para cada valor de una de las variables existe un único valor de la otra, esta última se puede despejar, de modo que queda expresada explícitamente en función de la primera.

Coordenadas cartesianas: la parábola puede escribirse como , donde p es la mitad de la distancia entre el foco y la directriz.

	> restart:with(plots): p:=1: y:=(1/2*p)*x^2; plot(y,x=-3..3);

Coordenadas polares: la espiral logarítmica tiene en polares una ecuación elegantísima: . El parámetro a controla el tamaño de la curva, mientras que b regula la amplitud de la espiral.

	> restart:with(plots): r:=a*exp(b*theta): a:=2: b:=0.2: plot([r,theta,theta=0..6*Pi],coords=polar);

Ecuaciones paramétricas

Proporcionan las coordenadas cartesianas o las polares en función de la coordenada paramétrica de la curva. Cualquier ecuación explícita se puede pasar a paramétricas de modo trivial convirtiendo la variable independiente en parámetro.

No hay que confundir los parámetros con la coordenada paramétrica. Los primeros son valores que distinguen las distintas curvas de una misma familia (por ejemplo, dentro de la familia de las circunferencias, un parámetro sería el radio de cada circunferencia, de modo que para cada valor del parámetro se obtiene una circunferencia distinta). Por otro lado, la coordenada paramétrica representa a la curva respecto de un sistema de coordenadas paramétrico y por cada uno de sus valores se tiene un punto de la curva.

Coordenadas cartesianas: las ecuaciones de la cicloide son . Los parámetros a y b controlan el número de ciclos y su amplitud.

	> restart:with(plots): x:=t-b*sin(t/a): y:=b-b*cos(t/a): a:=1:b:=1: plot([x, y, t=0..6*Pi]);

Coordenadas polares: también podemos expresar paramétricamente las coordenadas polares. Como ejemplo, la cardioide: . El valor de a controla el tamaño de la curva.

	> restart:with(plots): x:=a*(1+cos(t)): y:=t: a:=1: plot([x, y, t=0..4*Pi],coords=polar);

¿Y ahora?

Pues se trata de combinar las ecuaciones, de cambiar los parámetros, de probar con otras funciones, de buscar ecuaciones por ahí en libros o en la red o en la sección de curvas de Epsilones ...

Por ejemplo, uno se puede preguntar qué le pasaría a la conocida gráfica del seno si la x se sustituyese por su inversa:.

	> restart:with(plots): y:=sin(1/x) : plot(y, x=-Pi/8..Pi/8);

O si multiplicásemos el seno por el cuadrado de x:

	> restart:with(plots): y:=x^2*sin(x); plot(y, x=-15*Pi..15*Pi);

O si combinásemos las dos cosas:

	> restart:with(plots): y:=x^2*sin(1/x); plot(y, x=-Pi/8..Pi/8);

En fin: las posibilidades son infinitas. Buena caza.

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Una buena colección de ecuaciones se puede encontrar en la web Curvas.

Cónicas doblando papel

Se llama envolvente de una familia de curvas a una curva que es tangente a cada una de ellas. Esta práctica consiste en obtener elipses, hipérbolas y parábolas a partir de sus tangentes. Doblando papel trazaremos toda una familia de tangentes cuya envolvente será la cónica buscada.

Solo se necesitan unas hojas de papel vegetal, una regla y un compás.

Elipse: Dibujamos una circunferencia bastante grande. Dibujamos en su interior un punto cualquiera (que al menos la primera vez procuraremos que no sea el centro). Unimos el punto anterior (F en la figura) con un punto de la circunferencia y marcamos bien el doblez (que resulta ser la mediatriz del segmento XF). Repetimos el paso anterior tantas veces como sea posible de modo que unamos el punto F con puntos de todas las zonas de la circunferencia. Lo que se obtiene es una elipse cuyos focos son el punto F y el centro de la circunferencia.

Hipérbola: Dibujamos una circunferencia bastante grande. Dibujamos en su exterior un punto cualquiera. Unimos el punto anterior (F en la figura) con un punto de la circunferencia y marcamos bien el doblez (que resulta ser la mediatriz del segmento XF). Repetimos el paso anterior tantas veces como sea posible de modo que unamos el punto F con puntos de todas las zonas de la circunferencia. Lo que se obtiene es una hipérbola cuyos focos son el punto F y el centro de la circunferencia.

Parábola: Dibujamos un segmento horizontal en la parte inferior de la hoja. Dibujamos por encima del segmento un punto F centrado horizontalmente en la hoja. Unimos el punto anterior (F en la figura) con un punto del segmento y marcamos bien el doblez (que resulta ser la mediatriz del segmento XF). Repetimos el paso anterior tantas veces como sea posible de modo que unamos el punto F con puntos de todas las zonas del segmento. Lo que se obtiene es una parábola cuyo foco es el punto F y su directriz la recta que contiene al segmento dibujado.

Una vez conseguido al menos un ejemplo de cada curva, nos podemos hacer algunas preguntas:

1. ¿Qué pasa cuando situamos el punto F en la misma circunferencia?
2. ¿Qué pasa cuando situamos el punto F en el centro de la circunferencia?
3. ¿Qué les pasa a las elipses y a las hiperbolas cuando alejamos o acercamos F a la circunferencia?
4. ¿Qué le pasa a la parábola cuando alejamos o acercamos F a la directriz?
5. ¿Y cuando situamos F en la misma directriz?

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Juegos Matemáticos, p.162.

Esfericono

Esta práctica trata de la construcción de un curioso objeto geométrico, el esfericono, un sólido un tanto especial inventado hace poco más de treinta años por C. J. Roberts al intentar extender la cinta de Moebius a tres dimensiones. Una simple enumeración de sus elementos será suficiente para sorprendernos: posee una sola cara, dos aristas y cuatro vértices. ¿Imposible?

La idea original es la siguiente: imaginemos dos conos unidos por sus bases y tales que el ángulo máximo formado por dos generatrices mida 90º. Es fácil ver que si cortamos el sólido resultante por un plano que contenga a los dos vértices obtendremos una sección cuadrada. Pues bien, y aquí llega el toque genial, cojamos una de las mitades, girémosla 90º y volvamos a pegarla con la otra mitad. Ya tenemos el esfericono.

Una propiedad curiosa del esfericono es que se desliza sobre un plano inclinado desarrollando sobre él su única cara. Aunque la trayectoria sea bamboleante, el avance se produce en línea recta (lo mismo se consigue uniendo perpendicularmente dos semicírculos por su centro).

Un buen ejercicio sería obtener el desarrollo de la superficie del esfericono a partir de la descripción anterior (ya sabes: dibujar un recortable con el que construir el sólido). Yo te invito a que lo hagas, pues es más fácil de lo que parece. De todas formas, si no lo consigues, aquí lo tienes:

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Scientific American October 1999, p.98; Scientific American March 2001, p.72.

Sección, rectángulo y espiral áureos

"Una recta está dividida en extrema y media razón cuando la recta es al segmento mayor lo que éste es al menor."

Los Elementos, libro II, proposición 11. Euclides.

Así define Euclides lo que hoy conocemos por sección áurea, objeto de gran sencillez matemática y que, sin embargo, ha interpretado un importante papel en el arte y en el concepto que de la belleza se ha tenido en distintas épocas.

En esta práctica vamos a construir algunos objetos geométricos relacionados con la sección áurea utilizando únicamente regla y compás, al viejo estilo, aunque primero vamos a obtener algebraicamente el valor de φ, que es la letra que se usa para designar a la sección áurea.