Representación tridimensional de funciones de dos variables

La finalidad de esta práctica es representar tridimensionalmente funciones de dos variables reales con valores reales. Antes de empezar, y para hacernos una idea, recomiendo al lector que ejecute el programa f2v.exe pulsando aquí y que pruebe a visualizar alguno de los ejemplos que incorpora (basta elegirlo de la lista y después mover la imagen arrastrándola con el botón izquierdo del ratón).

Lo interesante, por supuesto, no es limitarse a ver los ejemplos, sino poder utilizar el programa para visualizar cualquier función que nos interese. Para ello, y dada cierta función, habrá que generar un archivo con la información pertinente. ¿Qué información es esa? Pues los valores de la función en los 10000 nodos de una rejilla de 100x100.

Para verlo más claro, vamos a suponer de momento que la rejilla que utilizamos tiene tan solo 20x20 nodos. Tendríamos entonces algo como esto:

Si al programa le decimos que el valor de la función que queremos representar es cero para todos los nodos excepto para aquel que se encuentra en la posición (10, 10), lugar donde la función vale 1, el programa mostraría esto:

Para complicarlo un poco más, podemos decirle que la función vale 1 en todos los nodos con índices en el dominio
[8,12]x[8,12]. Entonces veríamos esto:

Tampoco es que sea pasionante, pero sirve para hacerse una idea. Si en vez en vez de usar una rejilla de 20x20 usamos una de 100x100 y la usamos para dividir, por poner un ejemplo, el dominio [π, 5π]x[2π, 6π], y sobre él aplicamos la función f(x) = y²·senx, entonces el programa mostrará esto otro:

El formato del fichero... y el código

Para que el programa f2v.exe genere lo anterior debemos pasarle la información en un fichero. Ese fichero hay que copiarlo en la misma carpeta donde se encuentre el programa y debe tener como extensión f2v. Su contenido es sencillo: 10000 registros, cada uno de los cuales debe contener un único dato en coma flotante de doble precisión (8 bytes). Los 10000 datos son, obviamente, las imágenes correspondientes a los nodos de la rejilla de 100x100 puntos con la que se discretiza el dominio de la función.

Aunque no debería, a continuación copio el código para generar los datos de la figura anterior. Está en lenguage C++, pero traducirlo a otros lenguajes es trivial:

Los valores x1, x2, y1, y2 corresponden al dominio que vamos a representar, que en el ejemplo es [π, 5π]x[2π, 6π]. Por su parte, el campo factor sirve para modificar la escala de las imágenes. En negrita está resaltada la línea donde se inserta la función a representar, en este caso f(x) = y²·senx.

Si todo va bien, el código anterior grabará un fichero de nombre prueba.f2v que podrá ser leído por el programa f2v.exe. Bastará entonces elegir el fichero en la lista "Leer fichero" para visualizar la función.

Generación de atractores de IFS

Método de Euler para la resolución numérica de ecuaciones diferenciales

Veamos primero, muy por encima, la idea que subyace al método y después, mediante un ejemplo, su utillización práctica.

Supongamos que conocemos la derivada f '(x) de una cierta curva y = f(x) que no conocemos. Por definición, la derivada de f(x) en x = a es

Telepatía numérica

La siguiente práctica es tan sencilla que la puede realizar cualquiera que sepa operar con números enteros.

A continuación voy a proponer una serie de operaciones muy sencillas. Deberás contestar en voz alta y lo más rápidamente que puedas a cada una de ellas. No debes preocuparte por encontrar el truco porque no lo hay. Esta práctica no pretende ni ridiculizar ni poner a prueba a nadie. Se trata tan solo de una experiencia científica cuyo sentido se verá al final.

Insisto: hay que contestar lo más rápidamente posible. Vamos allá:

1-1 =

4-1 =

8-7 =

15-12 =

¡Ahora, rápido, di un número entre 12 y 5!

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¿Qué número has dicho? Me voy a concentrar... tu respuesta ha sido... ha sido... ya está: pon el cursor encima del interrogante que encontrarás al final de esta experiencia para ver si he leído correctamente tu mente.

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¿He acertado? Bueno, bromas aparte, lo normal es que todo el mundo conteste lo mismo, es decir, siete. La razón es que nuestro cerebro, al serle impuestas una serie de tareas análogas, se convierte en una máquina especializada en esa operación concreta gracias a lo que Devlin llama "sentido numérico" y Dehaene "memoria aritmética". Dicho de otro modo: el cerebro se pone en modo "resta". Al encontrarse con la última pregunta, aunque sepa reconocer que no se trata de una resta, no opuede evitar calcular la diferencia entre los números que se le ofrecen. Como resulta que el valor obtenido es una respuesta correcta a la pregunta, pues todos contentos. Para que luego digan del libre albedrío.

¿Y si no he acertado? Bueno, siempre puedes hacérle el experimento a los demás y explicar que contigo no funcionó.  

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The maths gene, p.19; The number sense, p.129.

Dos triángulos: el de Pascal y el de Sierpinsky

Si hay algo que hace interesante el mundo es la existencia de relaciones entre asuntos aparentemente tan separados que encontrar una conexión entre ellos sorprende a nuestra escueta inteligencia. Aquí tenemos un estupendo ejemplo: resulta que si representamos gráficamente los números pares del Triángulo de Pascal obtenemos una versión finita del Triángulo de Sierpinsky.

La representación es la más simple que quepa imaginar: por cada número par se pinta un punto negro. Por cada número impar, uno blanco. Listo.

La figura obtenida es cuasi-fractal. Para que fuese realmente fractal habría que seguir representando filas del triángulo de Pascal e ir reduciendo la figura obtenida a medida que iba creciendo. Llevando el proceso al límite se obtendría el verdadero triángulo de Sierpinsky.

Otras configuraciones interesantes se obtienen pintando de negro los lugares correspondientes a números que sean múltiplos de otras potencias de dos.

Para los vagos, copio a continuación la rutina en C++ con la que generé la figura de la derecha:

Exploración del conjunto de Mandelbrot y los conjuntos de Julia

			Tanto el conjunto de Mandelbrot (en lo que sigue conjunto M) como los conjuntos de Julia (en lo que sigue conjuntos J) son objetos fractales obtenidos a partir de algoritmos muy sencillos que dan lugar, sin embargo, a una infinitud de extraordinarias imágenes. Aunque el estudio de las iteraciones complejas que las originan se remonta a la segunda década del siglo XX con los trabajos de Gaston Julia y Pierre Fatou, no fue hasta 1980 cuando Benoît Mandelbrot obtuvo la primera imagen del conjunto que lleva su nombre. A continuación propongo un sencillo programa de interfaz gráfica que se puede descargar para explorarlos. Además, en dos apéndices, expongo por un lado el algoritmo utilizado para dibujar el conjunto M (por si alguien se anima a programarlo), y por otro algo de teoría para los más matemáticos.
	El programa MJ-1.exe Son dos las cosas que vamos a poder hacer con este programa: una es viajar a través del conjunto M mediante un zoom de enorme poder de ampliación. La otra es obtener los conjuntos J asociados a los distintos valores complejos utilizando el conjunto M como guía. La versión 2.0 permite obtener dichos conjuntos directamente a partir del valor del parámetro complejo c.

El teorema de Pitágoras con papel y tijeras (o Cabri)

	Como indica el título, esta práctica trata de demostrar el teorema de Pitágoras recortando papel, aunque empezaremos con una demostración de tipo algebraico para ver la diferencia de planteamiento. En cualquier caso, lo que debemos demostrar es siempre lo mismo, a saber, que el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de las áreas de los dos cuadrados construidos sobre los catetos. De otra manera: que c2 = a2 + b2.

1. Chou pei suan ching

Unos dicen que la siguiente demostración es del Chou pei suan ching, texto chino de difícil datación (por decir algo podemos ubicarlo en el siglo IV a.n.e.), aunque otros se la adjudican al matemático indio Bhaskara. La idea es sencilla: se expresa el área del cuadrado de lado c como el área del cuadrado de lado a-b (el pequeño) más cuatro triángulos rectángulos de catetos a y b, se hacen unas breves cuentas, y listo:

2. Arya-Bhata

Una demostración sencilla se debe al matemático indio Arya-Bhata, nacido en el 466 (se cree que las demostración pitagórica sería parecida a esta). A dos cuadrados de lado a + b les quitamos cuatro triángulos rectángulos de catetos a y b de los dos modos indicados, con lo que se demuestra que el área de los dos cuadrados pequeños (de lados a y b) es igual al área del cuadrado grande (de lado c). Se puede hacer lo mismo recortando los cuatro triángulos y colocándolos de las dos maneras sobre un cuadrado de lado a + b.

3. Perigal I

Henry Perigal ideó esta magnífica demostración en 1830, aunque no la publicó hasta 1873. Su característica principal es que podemos construir el cuadrado correspondiente a la hipotenusa a base de piezas de los dos pequeños. El corte se da en la mitad del exceso del lado del cuadrado grande sobre el pequeño. Obsérvese que las dos líneas de corte del cuadrado mediano pasan por el centro y que una de ellas es paralela a la hipotenusa, mientras que la otra es perpendicular. Si a uno le dan las piezas antes de haber visto el diagrama no resulta fácil componer el cuadrado grande.

Un caso interesante es el que se da cuando el triángulo, además de rectángulo, es isosceles.

4. Perigal II

También de Perigal, quizá esta sea la mejor demostración, pues en ella nada sobra. Se colocan juntos dos cuadrados, uno de lado a y otro de lado b, y se dibujan como se ve en la figura de la izquierda dos triángulos rectángulos de catetos a y b. Se recortan, se colocan como en la figura de la derecha y se consigue un cuadrado de lado igual a la hipotenusa de los dos triángulos. Perfecto.

5. Cabri

Cinta de Moebius - 1ª parte

Veamos: una hoja de papel, por ejemplo, decimos que tiene dos caras porque para pasar "de un lado al otro" debemos cruzar su borde. Con esta idea presente en la memoria, pregunto: ¿es posible construir una superficie de una sola cara? Tómate tu tiempo y piensa en ello.

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Pues sí: de primeras puede parecer una tarea imposible, pero no lo es. Por el contrario, su construcción es tan sencilla que, cuando se conoce, uno se pregunta cómo es que hubo que esperar al siglo XIX y a A. F. Moebius para que se descubriese la superficie que ahora vamos a construir y que lleva su nombre (► Cinta de Moebius). La idea esencial es conseguir una superficie en la que "los dos lados" estén comunicados, de modo que para pasar "de un lado a otro" no haya que cruzar ningún borde.

1. Se recorta una tira rectangular de papel.

2. Uno de los extremos se gira 180º.

3. Los extremos libres se pegan.

Es fácil comprobar siguiendo la superficie con el dedo (o con unas hormigas amaestradas, como hizo Escher) que solo hay una cara. Lo mismo vale para su único borde. Y aún hay más: si nos fijamos en cuál es la derecha en nuestro avance, veremos que cuando lleguemos al mismo punto de partida se habrá convertido en nuestra izquierda: por eso se dice de esta superficie que es no orientable.

► Cinta de Moebius: 2ª parte.

Apéndice:

Claudia envía varios dibujos en los que muestra otras formas de obtener superficies de una sola cara. He aquí tres de ellos:

Método 1: "Bandita en A"

Método 2: "Bandita en U"

Método 3: Cilindro

Este último método me recordó un grabado de Escher titulado Jinete, aunque, como me hizo ver la misma Claudia, no es exactamente lo mismo. En cualquier caso, en La magia de M.C. Escher se puede ver un boceto en el que la cinta es simétrica respecto del eje vertical que pasa por su centro, igual que en el dibujo anterior.

Un método general para obtener superficies de una sola cara es el ilustrado por el dibujo siguiente (que he "tomado prestado" del libro Introducción a la topología algebraica de William S. Massey). Obsérvese que las cintas de la derecha lo único que hacen es añadirle "agujeros" a la superficie, mientras que la cinta de la izquierda, además, la hace no orientable (de una sola cara, vamos).

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Fuentes:

• Comunicaciones de Claudia.
• Introducción a la topología algebraica, passim.
• La magia de M.C. Escher, p.160.

Para verlo:

• Vídeo sobre la cinta de Moebius.

Cinta de Moebius - 2ª parte

Un buen día, preparando la visita a una exposición dedicada a M.C. Escher, les conté a mis alumnos de 4º de la ESO que para calcular el número de caras de un superficie un método es pintarla: si podemos hacerlo con un solo color sin saltarnos borde alguno es que tiene una cara. Si necesitamos dos colores, pues dos caras.

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• Antes de seguir adelante, te sugiero lector que construyas una cinta de Moebius como se explica en la primera parte de esta práctica y pruebes a pintarla.

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En efecto: para pintar la cinta de Moebius nos basta un solo color, prueba de que tiene una sola cara. Así las cosas, mis alumnos y yo nos fuimos a la citada exposición. Allí les hablé de los recubrimientos regulares del plano, de las metamorfosis, de las figuras imposibles, de los poliedros y, cómo no, de las cintas de Moebius. Ya habíamos pasado por el grabado reproducido a la izquierda, y que se titula Cinta de Moebio I, cuando Carmen se me acercó y me dijo: "profe, si las cintas de Moebius tienen una sola cara, ¿por qué esa está pintada de dos colores?".

Como tan sagazmente vio Carmen, en el dibujo de Escher se puede ver una superficie con dos caras, cosa que el holandés recalcó, para que no cupiese ninguna duda, pintándolas de distinto color. La siguiente pregunta era obligada: "¿Por qué llamó Escher Cinta de Moebio I a una superficie de dos caras?".

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• Planteado el enigma, el lector interesado puede, antes de seguir adelante, intentar desentrañarlo.

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Para resolver el misterio vamos a construir la superficie que aparece en Cinta de Moebius I.

El primer paso consiste en retorcer uno de los extremos de una tira de papel, no 180º como se hizo anteriormente, sino 540º, es decir, tres medias vueltas, y después unirlo al otro extremo. La superficie obtenida tiene una sola cara, como la cinta de Moebius a la que estamos habituados, pero más retorcida. Esto no supone ninguna diferencia para lo que nos ocupa. Posiblemente Escher optase por tres medias vueltas en vez de una para conseguir una simetría más rica.

El segundo paso es un corte longitudinal. Pero antes de darlo es interesante ver qué ocurre al realizar ese corte en tres superficies relacionadas:

1. Si tomamos una tira de papel y la cortamos longitudinalmente se obtienen, obviamente, dos tiras de papel igual de largas que la original pero la mitad de estrechas.

2. Si hacemos lo mismo con otra tira de papel que previamente hemos cerrado para formar un anillo obtendremos dos anillos.

4. ¿Y si se lo damos a una de tres medias vueltas?

• La mejor forma de saberlo es construir dos cintas de Moebius, una con solo media vuelta y otra con tres medias vueltas, y después cortarlas. ¿Cuántas piezas se obtienen en cada caso?

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Si todo ha ido bien, y supongo que con cierta sorpresa, el lector verá que tras el corte se obtiene en ambos ejemplos una única pieza, un único anillo. La cuestión ahora es:

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• ¿Es el anillo obtenido una cinta de Moebius?

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Aquí nos encontramos la solución del misterio: al cortar longitudinalmente una cinta de Moebius (da igual que sea de uno, tres o cualquier número impar de medias vueltas) se obtiene un anillo que pese a estar retorcido no es una cinta de Moebius, pues tiene dos caras, cosa que se puede comprobar pintándolas de distinto color.

Esta propiedad es, precisamente, la que refleja Escher en su grabado: al realizar el corte pero no estirar la cinta muestra como era antes del corte (una superficie de una sola cara); pero al pintar cada cara de un color distinto resalta el hecho de que ahora, tras el corte, en realidad tiene dos caras.

Y por si fuera poco les recorta tres pares de ojos para convertir la cinta en tres serpientes encadenadas en una extraña variación del tema del Ouroboros.

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• Otras dos experiencias con cortes son las siguientes:

1. Corta una cinta de Moebius longitudinalmente. Corta de nuevo el anillo obtenido longitudinalmente. ¿Qué se obtiene?
2. Corta otra cinta de Moebius longitudinalmente, pero esta vez no por el centro, sino a un tercio de distancia del centro. ¿Qué se obtiene?