Terciando el rectángulo

Pilar de la Cruz propone una sencilla y elegante demostración:

1. Los triángulos BB'P y APA'' son semejantes (sus lados son paralelos).

2. La longitud de BB' es el doble que la de AA''.

3. Luego las alturas de ambos triángulos correspondientes al vértice P deben estar en la misma relación.

Conclusión: d(P, BB') = 2d(P, AA')

Yo había pensado utilizar que P es el baricentro del triángulo BB'C, pero me gusta más la demostración de Pilar.

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La araña y la mosca

Normalmente tenemos claro que en un plano la distancia más corta entre dos puntos es la línea recta. Si tenemos en cuenta que la araña avanza arrastrándose, nos daremos cuenta de que, para ella, es indiferente que las paredes formen ángulos entre sí: la araña simplemente se mueve por una superficie plana. La forma de conjugar este hecho con el de que, en realidad, las paredes de la habitación pertenecen a un mundo tridimensional, es desarrollar el ortoedro que es la habitación en un plano. Esto se puede hacer de varias formas, cada una de las cuales nos da un posible camino "recto" entre la araña y la hormiga. De todos ellos el más corto es el siguiente, que da un a distancia de 8 metros (resulta trivial usando el teorema de Pitágoras).

La gráfica siguiente nos da algunos de los otros posibles caminos. Queda para el lector ver que el anterior es el más corto y que cualquier otro camino, pues hay más, es más largo que los dibujados.

Llama la atención que el camino más corto recorra cinco de las seis caras del ortoedro. Este hecho depende de las posiciones relativas de la mosca y la araña. Sería interesante obtener una solución general al problema en función de las posiciones relativas de ambos bichos.

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Tras cajas de caramelos

La solución correcta, enviada en primer lugar por José Luis Arnal, es la siguiente:

Dado que las tres etiquetas son incorrectas, solo tenemos dos casos:

Si sacamos un caramelo de las cajas etiquetadas como "naranja" o "limón" no obtendremos ninguna información, pues cualquier sabor que detectemos podría correponder tanto al caso 1 como al 2.

Sin embargo, si sacamos un caramelo de la caja etiquetada como "mezcla", sabremos inmediatamente si nos encontramos en el caso 1 o en el 2.

Vamos, que basta probar un caramelo.

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El área de los usos cruzados

Para calcular el área sombreada de la figura 1 calculamos primero el área de la pequeña región sombreada de la figura 2. El área buscada será la del cuadrado menos ocho de estas pequeñas áreas.

figura 1	figura 2

1. Simplificamos el dibujo y nos quedamos con un solo arco (figura derecha).

2. El triángulo ABC es equilátero. Por tanto α = 60º y, por tanto, β = 30º.

3. El área del sector ACE será por tanto: .

4. Del triángulo  ADC conocemos AC = 1 y CD = 1/2. Aplicando Pitágoras se obtiene AD = .

5. El área del triángulo ADC será entonces:

6. El área del rectángulo EFDC es, obviamente, 1/2, por lo que el área de la región curva  AEF es

7. El área buscada es, entonces, el área del cuadrado menos ocho de estas áreas curvilíneas, es decir,

Simplificando:

  

Qué difícil es ser normal

El siguiente texto, debido a Sebastián Grillo, no solo resuelve el problema sino que analiza el sorprendete resultado:

Resultados inesperados de la probabilidad:

En esta ocasión queremos replantear el concepto de “normalidad” o de pertenencia a la mayoría. Aunque suene paradójico ser normal en todo puede resultar algo estadísticamente anormal, especialmente mientras mayor sea el número de variables implicadas. Para demostrar esta aparente paradoja vamos a refrescar el concepto de variables independientes: dos variables estadísticas son independientes cuando la incidencia de una no afecta la posibilidad de la otra, por ejemplo tengo un dado y saco un 5, si vuelvo a lanzar ese dado ese 5 no afecta la posibilidad que quite un 1, 2, 3 o lo que sea en la segunda tirada, así pues ambas tiradas son variables independientes. Por supuesto es un concepto contrario a variables estadísticas dependientes donde la incidencia de uno si afecta la posibilidad de la otra: por ejemplo la posibilidad de resbalarme con una cáscara de banana aumenta dramáticamente la posibilidad de matarme, así pues matarse es una variable estadística dependiente de resbalarse con cáscaras de banana.

Entonces supongamos que podemos describir un objeto en 100 variables cuantitativas independientes, siendo que definiremos que dicho objeto es normal en una variable cuando su valor pertenece al 98% de la población de objetos de su genero que se acerque mas al promedio, si recuerdan la campana de Gauss la mayoría de una población se aglutina hacia la media siendo que aquellos con valores que se alejen mas del promedio son mucho menores en incidencia, por ejemplo una persona adulta que mida 1,80 mts estará en el grupo del 98% considerados “normales” pero un adulto de medio metro o de 2,30 mts por su rareza dentro de la población cae inevitablemente en el 2% considerado “anormal”.

Entonces el 98% es normal en una variable elegida al azar, si elegimos otra variable entre las 99 restantes el 98% de ese 98% será normal en ambas variables, pues ese 98% de normales en la primera variable se descompone en un 98% de normales y un 2% de anormales en la segunda variable pues como dijimos ambas variables son independientes, de ahí es fácil ver que para calcular el porcentaje de normales en n variables tan solo hay que elevar 0,98 a la n potencia.

Queríamos demostrar que algo normal en todo puede resultar no tan normal, así pues como tenemos 100 variables entonces la posibilidad de que un objeto sea normal en todo es de un (0,98)^100=0,132 es decir un 13,2 % de la población, el 86,8% restante presenta una anormalidad en alguna de las 100 variables. Por lo tanto concluimos que en este caso hipotético lo más normal es ser anormal en algo.

Este resultado inesperado de la estadística puede ser aplicado al mundo real siendo que no es descabellado pensar que podríamos aislar 100 o mas variables independientes en el ser humano considerando que posee 35000 genes y concluir que esos pequeños accidentes de anormalidad definen la individualidad en cada persona, eso si no podemos refutar que ser anormal en todo es algo muchísimo mas raro.

Un circuito infinito

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Producto de enteros

Uno de los enteros que hay entre -144 y 288 es el cero. Multiplicamos por él y listo.

Tres reyes

Como ando vago, a mano:

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El problema de la vaca

El área de la zona a la que tiene acceso la vaca es igual a dos veces el sector OQS, más dos veces el sector POS, menos dos veces el triángulo OPS (porque lo contamos dos veces al coger los sectores). Como queremos que sea la mitad del prado, tenemos la ecuación:

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Los mismos pelos en la cabeza

Solución 1 (la envía el propio Pepe Roma y me encanta):

Matematicamente es posible hacerlo por el método de reducción al absurdo. Veamos, si NO se diera esa circunstancia [que dos habitantes de España tuvieran el mismo nñumeros de pelos en la cabeza], deberían haber una persona con un pelo,otra con dos, otra con tres...y si, por redondear, consideramos una población de 40 millones, otra persona tendrá 40 millones de pelos en su cabeza.

Tomemos esta última y démosle 5 pelos por mm², que son muchos pelos. 40 millones dividido por 5 nos dá 8 millones de mm² = 8 m², lo que parece excesivo para cualquiera, incluyendo a mi amigo José Luís.

Solución 2:

Este problema es uno de los ejemplos típicos del principio del palomar:

Por observación directa, podemos ver que una estimación de 5 pelos por mm² es bastante generosa. Si consideramos la cabeza como una esfera de 25 cm de diámetro, su área será, aproximadamente, de 200000 mm². Si imaginamos solo la mitad de la esfera cubierta de pelo y multiplicamos por la densidad indicada anteriormente, tendríamos 5 pelos/mm² · 100000 mm² = 500000 pelos en la cabeza, como máximo (en realidad está estimaciòn es más de dos veces superior a la realidad).

Ahora, aplicando el principio del palomar, podríamos pensar en un español con cero pelos, uno con uno, otro con dos, otro con tres, y así hasta 500000. Teniendo en cuenta que somos 47 millones, es evidente que vamos a tener que repetirnos un montón de veces. De hecho, no hace falta pensar en Espña: bastaría cualquier población con más de 500000 habitantes, como Valencia, por ejemplo.

Eso sí: dentro de cien años, todos calvos.

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Ponerle el cascabel al perro

Naturalmente, la velocidad del sonido. Superada esta, dejará de oír el cascabel y se parará.

A no ser que esté contento...

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Mezclando agua y vino

La tentacion es identificar unas incognitas, escribir unas ecuaciones, calcular las proprociones en función del parámetro "capacidad de la cuchilla"... Yo lo hice.

Y está bien, pero no hace falta. Basta razonar de la siguiente manera: los dos vasos, al final del trasiego de cucharadas, tiene la misma cantidad de líquido que tenían al principio, pues la cantidad extraída y devuelta es la misma. Por lo tanto, el vino que hay en el vaso de agua se ha de correponder exactamente con el agua que le falta. ¿Y donde está esa agua? Pues en el vaso de vino. Luego hay la misma cantida de vino en el agua que de agua en el vino. Listo.

Y es que a veces nos complicamos la vida.

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El tablero y el dominó

Es sencillo encontrar soluciones a las dos primeras cuestiones, pero en el tercer caso no es posible.

Una forma de verlo es pintar los cuadrados del tablero como si fuese uno de ajedrez, alternando cuadrados blancos y negros. Dado que el color de dos escaques opuestos es el mismo, al quitarlos, habrá más cuadraditos de un color que del otro. Pero cada ficha de dominó cubre un cuadrado blanco y uno negro, por lo que de ningún modo podrá cubrir dos de los cuadados del color más abundante.

Sin enunciarlo, hemos hecho uso del principio del palomar: las fichas de dominó, colocadas sobre el tablero, establecen una aplicación biyectiva entre los cuadrados blancos y negro. Si resulta que el cardinal de ambos conjuntos es distinto, la aplicación es imposible.

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La invención del ajedrez

El número de granos de trigo que hay que colocar en cada escaque sigue una progresón geométrica de razón 2 que empieza en 1: 1, 2, 4, 8. 16, 32, 64, 128, 256...

Utilizando la fórmula deducida en fragmentos, la suma sería

\(S_n=\frac{a_1·(1-r^n)}{1- r}\)

\(S_{64}=\frac{1·(1-2^{64})}{1-2}=2^{64}-1\)

Una vez calculada, la expresión anterior equivale a 18.446.744.073.709.551.615 granos que, según los cálculos realizados por Dunia Lozamo, equivalen a la producción mundial de trigo durante ¡907 años!

No está mal por un jueguecito...

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