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El error de Euclides en la proposición 1 de los Elementos

La proposición 1 del primer libro de los Elementos de Euclides aporta un método para

Construir un triángulo equilátero sobre una recta finita dada.

Dicho procedimiento puede verse en la siguiente construcción:


Archivo GeoGebra

La demostración de Euclides, en traducción castellana, es la siguiente:

Sea AB la recta finita dada.

Así pues, hay que construir sobre la recta AB un triángulo equilátero.
Descríbase con centro A y radio AB el círculo BCD, y con centro B y radio BA descríbase a su vez el círculo ACE, y a partir del punto C donde los círculos se cortan entre sí, tracense las rectas CA y CB hasta los puntos A y B.

Y puesto que el punto A es el centro del círculo BCDAC es igual a AB; puesto que el punto B es a su vez el centro del círculo CAE, BC es igual a BA, pero se ha demuestrado que CA es igual a AB; por lo tanto, cada una de las (rectas) CA y CBes igual a AB. Ahora bien, las cosas iguales a una misma cosa son también iguales entre sí; por tanto, CA es igual también a CB; las tres CAAB y BC son iguales entre sí.

Por consiguiente, el triángulo ABC es equilátero y ha sido construido sobre la recta finita dada AB. (Que es) lo que había que hacer.

 
 
Elementos, p.201.
 

Todo parece correcto, ¿verdad?

Sin embargo, hay que tener en cuenta que los Elementos pretenden no dar por sentado nada que no esté explicitado en sus definiciones, postulados y nociones comunes. Si volvemos a leer la demostración con esta idea presente veremos que Euclides supone algo que no se ha explicitado, y es que existe un punto C "donde los círculos se cortan entre sí". Esta suposición implica que los círculos (las circunferencias, en la terminología moderna) no tienen huecos, lo cual no es cierto si, por ejemplo, nos movemos en el cuerpo de los números racionales (si no te convence esto, halla los puntos de corte de las circunferencias \((x-1)^2+y^2=4; (x+1)^2+y^2=4\) ¿Son racionales?).

Esta pifia nos habla de la tremenda fuerza que tenían los gráficos en las demostraciones euclidianas y lo peligroso que puede ser fiarse demasiado de ellos: intuitivamente es obvio que dos cincunferencias como las del esquema se cortan, porque, en el gráfico, las líneas que hemos dibujado para representarlas efectivamente se cortan.

Dedekind resolvería el problema incluyendo un postulado de continuidad.

 
 
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Epsilones. Página + o - matemática de Alberto. Correo: alberto@epsilones.com. En la red desde el 4-7-2002 (ya hace). Última actualización: ver Novedades.
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