Sea el suceso A = {al menos dos personas tienen el mismo cumpleaños}.

Entonces, su suceso complementario será: Ā = {todos tienen cumpleaños distintos}

Si n es el número de asistentes a la fiesta, aplicando la regla de Laplace, se tiene que:

\[P(A)=1-P(\overline{A})=1-\dfrac{365·364·...·(365-n+1)}{365^n}=1-\dfrac{365!}{(365-n)!·365^n}\]

A partir de la fórmula calculamos la probabilidad para algunos valores de n:

Es decir: que si en la fiesta hay treinta personas, es fácil que dos tengan el mismo cumpleaños, pues la probabilidad es del 70%. Y que basta que haya 23 personas para que esta probabilidad sea superior al 50%.

Más asombroso aún es comprobar que con cincuenta personas esta probabilidad sube al 97% y con cien personas nos ponemos en un 99,99996927%.

Naturalmente, esta cuestión es muy diferente a calcular la probabilidad de que alguien tenga nuestro mismo cumpleaños.