Epsilones
Problemas
Siguenos en Blogger

 ◄
► 
Siguiente
   

El saltamontes semicircular

No es que el saltamontes sea semicircular, sino que sus saltos, contra todo pronostico físico, son semicirculares. Además, son de cualquier longitud que desee.

La cuestión es la siguiente: si el saltamontes quiere ir de A a B, ¿cuál será la trayectoria más corta?

En la figura se ven tres de las infinitas trayectorias posibles: la azul con un solo salto, la morada con dos y la amarilla, con cuatro. No hay ninguna limitación ni en el número de saltos ni en su longitud.

 

Solución

     

En BrainMatics. Rompecabezas lógicos, p.111, se comenta la paradoja que surge naturalmente de la solución del problema y que tiene mucho que ver con la diagonal escalonada: ¿qué pasa si hacemos infinito el número de semicírculos?

 
 
 





SOLUCIÓN

Dice el lectot Franco Allende: "Empecé encarando el problema con el cálculo, como si fuese de un problema de optimización jaja pero después me di cuenta de lo obvio jaja".

Lo obvio es que si la longitud de una circunferencia es propocional a su dimámetro, y esa proporción es \(\pi\), la suma de un conjunto de semicircunferencias será proporcional a la suma de sus diámetros con la misma razón \(\pi\). Escribámoslo:

La longitud de una circunferencia se suele expresar como \(L=2 \pi r\), siendo r el radio, o también como \(L=\pi d\), sindo d el dámetro. Si consideramos solo una semicircunferencia, su longitud será la mitad: \(L=\dfrac{\pi d}{2}\)

Llamemos D a la distancia entre los puntos A y B. Supongamos que el saltamontes recorre la distancia D en n saltos de longitudes \(d_1, d_2, ..., d_n\). Entonces, la longitud total de la trayectoria seguida será la suma de las n semicircunferencias:

\[L=\dfrac{\pi d_1}{2}+\dfrac{\pi d_2}{2}+...+\dfrac{\pi d_n}{2}\]

Sacando factor común:

\[L=\dfrac{\pi}{2} (d_1+ d_2 +...+ d_n)\]

Pero \(d_1+ d_2 + ...+ d_n)=D\), por lo que:

\[L=\dfrac{\pi}{2} D\]

Conclusión: da igual cuántos saltos dé el saltamontes y de qué longitudes sean: la trayectoria seguida tendrá siempre la misma longitud.

 
Comentarios
Epsilones. Página + o - matemática de Alberto. Correo: alberto@epsilones.com. En la red desde el 4-7-2002 (ya hace). Última actualización: ver Novedades.
Siguenos en Blogger
 

 

Con esto se termina la página:

El contenido de esta página requiere una versión más reciente de Adobe Flash Player.

Obtener Adobe Flash Player