Dice el lectot Franco Allende: "Empecé encarando el problema con el cálculo, como si fuese de un problema de optimización jaja pero después me di cuenta de lo obvio jaja".

Lo obvio es que si la longitud de una circunferencia es propocional a su dimámetro, y esa proporción es \(\pi\), la suma de un conjunto de semicircunferencias será proporcional a la suma de sus diámetros con la misma razón \(\pi\). Escribámoslo:

La longitud de una circunferencia se suele expresar como \(L=2 \pi r\), siendo r el radio, o también como \(L=\pi d\), sindo d el dámetro. Si consideramos solo una semicircunferencia, su longitud será la mitad: \(L=\dfrac{\pi d}{2}\)

Llamemos D a la distancia entre los puntos A y B. Supongamos que el saltamontes recorre la distancia D en n saltos de longitudes \(d_1, d_2, ..., d_n\). Entonces, la longitud total de la trayectoria seguida será la suma de las n semicircunferencias:

\[L=\dfrac{\pi d_1}{2}+\dfrac{\pi d_2}{2}+...+\dfrac{\pi d_n}{2}\]

Sacando factor común:

\[L=\dfrac{\pi}{2} (d_1+ d_2 +...+ d_n)\]

Pero \(d_1+ d_2 + ...+ d_n)=D\), por lo que:

\[L=\dfrac{\pi}{2} D\]

Conclusión: da igual cuántos saltos dé el saltamontes y de qué longitudes sean: la trayectoria seguida tendrá siempre la misma longitud.