Epsilones: Fragmentos

Fragmentos matemáticos -

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La idea de esta sección es coleccionar pequeños fragmentos de matemáticas que pese a su sencillez muestren sin embargo algún truco o técnica de interés.

Índice

Obtención de la ecuación de la tractriz.
Obtención de la ecuación de la hélice cónica.
Las razones trigonométricas en la circunferencia.
Obtención del inverso de un segmento.
Logaritmo de un número complejo.
Demostración de la fórmula del seno de la suma.
Suma de los primeros términos de una progresión arítmética.
Demostración de la igualdad entre sumas y productos de tangentes.
Demostración del teorema de Pitágoras generalizado.
Interpretación geométrica del triángulo de Pascal.
Asíntotas de curvas definidas por funciones.

Asíntotas de curvas definidas por funciones

Logaritmo de un número complejo

Los logaritmos, definidos en principio para números positivos, fueron extendidos a los complejos por el infatigable señor Euler, allá por el siglo XVIII.

Lo que hizo fue, aproximadamente, lo siguiente:

La sorpresa no se reduce al hecho de que los complejos tengan logaritmo, sino que cada uno de ellos tenga en realidad infinitos logaritmos.

Aplicando esta fórmula, Euler obtuvo el valor de i elevado a i.

► Fórmula de Euler

Interpretación geométrica del triángulo de Pascal

Autor: Luis Scoccola

Empezamos con la siguiente cuestión: ¿Cuántos puntos equidistantes entre sí se pueden disponer en n dimensiones?

Cuando uno se encuentra en una dimensión y se tienen los puntos A y B, basta con agregar un punto C tal que AB = BC y "doblar" la recta 60 grados para que CA = AB. Nos encontraremos entonces en dos dimensiones. Si agregamos otro punto D de modo que DB = DC bastará un nuevo "doblez" para que DA = DB y pasar así a tres dimensiones.

dimensiones	nº puntos
0	1	un punto
1	2	un segmento
2	3	un triángulo equilátero
3	4	un tetraedro

Ahora es cuando la cosa se complica, porque pensar en agregar otro punto y “doblar” nuevamente se torna un poco más complicado, pues habría que pasar a dimensión cuatro. Quedémonos un rato más en tres dimensiones y pensemos lo siguiente: ¿Cuántos puntos hay en cada caso?, ¿cuántos segmentos? ¿cuántas superficies?, y ¿cuántos volúmenes?

dimensiones	puntos	segmentos	superficies	volúmenes
0	1	0	0	0
1	2	1	0	0
2	3	3	1	0
3	4	6	4	1

¿Podemos ahora conjeturar algunas cosas? Podríamos pensar, por ejemplo, que la cantidad de tetraedros contenidos en el equivalente tetradimensional de un tetraedro debe ser 5; o que la cantidad de segmentos que contendría sería 10. La demostración de esta última afirmación es muy simple:

Aunque estamos construyendo figuras en las que todos los puntos estan unidos entre sí por segmentos iguales (los puntos son equidistantes) podemos olvidarnos de esat igfualdad y centrarnos tan solo en el nñumero de elementos que trazamos. Así, en el caso de la cuarta dimensión, ¿cuántos puntos hay?: 5. Dibujemos entonces 5 puntos no alineados, o simplemente un pentágono, y dibujemos todas sus diagonales para que todos los vértices queden unidos entre sí. Contemos ahora todos los segmentos: son 10. Esa es la cantidad de segmentos contenida en un tetraedro tetradimensional. Probada una de las conjeturas, la similitud con el triángulo de Pascal se hace más evidente:

dimensiones	puntos	segmentos	superficies	volúmenes	hipervolúmenes
0	1	0	0	0	0
1	2	1	0	0	0
2	3	3	1	0	0
3	4	6	4	1	0
4	5	10	-	-	1

1
2	1
3	3	1
4	6	4	1
5	10	-	-	1

Notemos lo siguiente: la fórmula para sacar la cantidad de segmentos puede verse de dos formas: como la que permite obtener el tercer coeficiente de un binomio o como la fórmula para sacar la cantidad de diagonales de un poligono cualquiera. Estas dos fórmulas equivalen "casualmente" a la forma de los números triangulares: (n(n+1))/2 que "casualmente" es la segunda columna del triángulo escrito arriba (obviamente la primera columna está formada por los números naturales).

Cabe preguntarse ¿Que es la tercera columna ? ¿Y la cuarta? etc.

Luis Scoccola

Nota:

Efectivamente el triángulo de Pascal es una tabla de números combinatorios.

Si calculamos tendremos el número de segmentos que podemos construir con n puntos.
Con tendremos el número de triángulos.
Con tendremos el número de tetraedros, y así sucesivamente.

Lo que me ha resultado más interesante del texto de Luis es cómo a partir de una pregunta geométrica ha pasado a una cuestión topológica, al prescindir de la igualdad de los segmentos, que ha abacabo conectando con un objeto aritmético como es el triángulo de Pascal.

Demostración del teorema de Pitágoras generalizado

El teorema de Pitágoras, en su forma habitual, dice que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, lo cual es una interpretación algebraica de un hecho geométrico: en todo triángulo rectángulo, el área de un cuadrado construido sobre la hipotenusa (el lado mayor) es igual a la suma de las áreas de los dos cuadrados construidos sobre los catetos.

Lo sorprendente es que esta relación se puede generalizar a toda terna de figuras semejantes cuyas longitudes formen una terna pitagórica. Vamos, que si en vez tres aburridos cuadrados dibujamos sobre un triángulo rectángulo tres gatos de Cheshire, el área de la superficie ocupada por el dibujo del mayor de los tres será igual a la suma de las áreas de los otros dos dibujos.

La demostración de este hecho es prácticamente trivial:

Sea a una longitud cualquiera del gato grande (puede ser el ancho, pero también la distancia entre los extremos de las orejas, o la amplitud de su sonrisa). Sean b y c las mismas longitudes pero medidas en las otras dos imágenes, b para el gato mediano y c para el pequeño. Se supone que a, b y c forman terna pitagórica, es decir, que cumplen:

a² = b² + c²

[1]

Sean A, B y C las áreas de las superficies ocupadas por el dibujo de cada uno de los gatos, de mayor a menor. Es sabido que si dos figuras son semejantes, el cociente entre sus áreas es igual al cuadrado del cociente entre sus longitudes.

Por lo tanto:

Despejando:

Sustituyendo en [1], se tiene

Simplificando: A = B + C

Problemas: Las lúnulas y el triángulo.

Obtención de la ecuación de la hélice cónica

La hélice cónica se define como la curva que corta a las generatrices de un cono con un ángulo constante.

Las ecuaciones paramétricas de un cono son , siendo α el ángulo que forman las generatrices con el eje del cono.

Sean las ecuaciones paramétricas de la hélice buscada, siendo f(t) la relación que liga los parámetros t y s de las ecuaciones del cono.

Tenemos que calcular el ángulo formado por la curva y las generatrices, que viene dado en cada punto por el vector derivada de la curva y el vector director de la generatriz correspondiente.

La derivada de h es: ,

mientras que el vector director de cada generatriz coincide en este caso con (dada la parametrización elegida todas las generatrices pasan por el origen de coordenadas).

Calculando el modulo de h y h' y el producto escalar h·h'

y llamando β al ángulo formado por curva y generatrices se tiene:

Tan amenazadora expresión se queda, tras aplicar la fórmula y simplificar, en algo mucho más razonable:

Pasando la raíz al primer miembro, elevando al cuadrado, agrupando y despejando, tenemos, aunque parezca mentira:

Ahora solo falta tener en cuenta que es constante y recordar que la función, al ser derivada, es igual a ella misma multiplicada por una constante es la exponencial para deducir que

por lo que la ecuación de la hélice cónica es:

donde a es un parámetro que añadimos para controlar el tamaño del cono.

Demostración de la igualdad entre sumas y productos de tangentes

Si α, β, γ son tres ángulos tales que , entonces .

Demostración:

Como , se tiene:

Aplicando la fórmula de la tangente de la suma:

[1]

Entonces:

Operando y simplificando el segundo miembro, se tiene:

Sacando factor común:

A la expresión del paréntesis se le aplica de nuevo [1] y queda:

.

► Fórmulas: igualdad de sumas y productos de tangentes.

Obtención del inverso de un segmento

Sea trata de construir a partir de un segmento otro segmento de longitud inversa utilizando únicamente regla y compás. Se explica para un segmento de longitud menor que uno.

Pasos:

Se dibuja un segmento OA con la longitud dada.
Se dibuja una circunferencia de centro O y radio 1.
Se dibuja una perpendicular a OA que pase por A.
Sea P el punto de corte de la perpendicular y la circunferencia: se dibuja el radio OP.
Se traza por P la perpendicular a OP.
Sea B el punto de corte de la última perpendicular con la recta que contiene a OA: la longitud del segmento OB es la inversa de la del segmento OA.

En el gráfico siguiente, pulsando en ► (abajo a la izquierda) se puede ver la construcción paso a paso. Arrastrando con el ratón el punto A se puede ver cómo cambia el punto B.

Demostración:

Por el teorema del cateto, OP² = OA·OB.

Como por construcción OP = 1, se tiene que OB = 1/OA.

Listo.

Queda para el lector buscar la forma de construir el segmento inverso para el caso mayor que 1.

► Bestiario: trigonometría.

Obtención de la ecuación de la tractriz

La tractriz es la trayectoria de un punto arrastrado por otro que se desliza en línea recta. En la figura, el punto C se desplaza hacía arriba arrastrando al punto T, que puede ser una barca arrastrada por una cuerda. Al principio la barca situada en L y en horizontal, mirando la origende coordenadas. Después, a medida que C se desplaza por el eje OY, la barca va cambiando continuamente su rumbo, que siempre apunta a C.

Lo dicho se traduce en que, si la cuerda es completamente rígida, la trayectoria de la barca será siempre tangente a ella. Por esto a la tractriz también se le llama equitangencial, dado que la longitud del segmento de tangente comprendido entre el punto de tangencia y el punto de corte con la asíntota es constante (en la figura, el segmento rojo).

Lo que vamos a hacer es calcular, para cada punto de la gráfica, el punto de corte de la tangente con el eje vertical. Como la distancia entre ambos puntos, el de tangencia y el de corte con el eje OY, debe ser constante, podremos escribir una ecuación diferencial que, una vez integrada, nos dará la ecuación de la curva.

Sea f(x) la función que tiene por gráfica la tractriz.

En un punto de abscisa x = a, la ecuación de la tangente a la gráfica de f(x) será:

y - f(a) = f '(a)·(x - a)

Para hallar el punto de corte con el eje OY hacemos x = 0. Entonces; y = f(a) - a·f '(a)

Así, el punto de corte C de la tangente con el eje vertical tendrá por coordenadas (0, f(a) - a·f '(a)), mientras que las del punto de tangencia T serán (a, f(a)).

Si L es la distancia que hay entre el punto arrastrado y el que arrastra (es decir, la longitud de la cuerda del barquero), se debe cumplir d(T, C) = L, es decir:

Haciendo L = 1 por comodidad y despejando se tiene:

Se toma la raíz negativa porque las pendientes de las tangentes a la curva de la figura son negativas. Tomando la raíz positiva se obtendría la ecuación de la otra rama de la tractriz, la que correspondería a un movimiento hacia abajo en vez de hacia arriba.

Ahora, integrando entre 1 y x para que f(1) = 0, queda (con el cambio de variable 1 - a² = t² sale fácil):

En conclusión:

Demostración de la fórmula del seno de la suma

Para dos ángulos cualesquiera A y B se tiene que sen(A+B) = senAcosB + cosAsenB.

Demostración:

1) Veamos primero que el área de un triángulo se puede calcular mediante la fórmula:

A =

[1]

donde a y b son dos de los lados y C el ángulo que forman.

Supongamos que el ángulo C es agudo:

En tal caso: A = (1/2)a·h.

Como h = b·senC, se tiene que A = .

Para C obtuso basta recordar que sen(π - C) = senC.

2) Demostración del teorema.

La idea es utilizar el resultado anterior para expresar el área de un triángulo de dos maneras, una utilizando el seno de dos ángulos A y B, y otra utilizando el seno de la suma de dichos ángulos. Igualadas las dos expresiones, bastarán unas sencillas simplificaciones para lograr la fórmula buscada.

Construimos un triángulo que tenga uno de sus ángulos igual a la suma de los ángulos A y B:

Aplicando la fórmula [1] al triángulo rectángulo de la izquierda se tiene que su área es: A₁ =

Aplicando la fórmula [1] al triángulo rectángulo de la derecha se tiene que su área es: A₂ =

Aplicando la fórmula [1] al triángulo completo se tiene que su área es: A =

Evidentemente, A = A₁+ A_2.

Entonces:

Dividiendo todo entre p·q/2 se tiene:

Como h/q = cosB y h/p = cosA, sustituyendo: sen(A+B) = senAcosB + cosAsenB

q.e.d.

Nota: en la demostración se ha supuesto implícitamente que A + B < π. Se deja al lector la extensión de la demostración a cualquier otro caso.

► Bestiario: trigonometría.

Las razones trigonométricas en la circunferencia

A continuación se representan gráficamente las razones trigonométricas en una circunferencia de radio 1 (circunferencia goniométrica).


seno α = AP	tangente α = CD	secante α = OG


coseno α = BP	cotangente α = EF	cosecante α = OH

Explicaciones

Seno:

Se define sen α = (coordenada vertical de P)/(radio).
Entonces sen α = AP/OP.
Como OP=1, sen α = AP.

Coseno:

cos α = sen (π/2 - α).

Tangente

Se define tg α = (coordenada vertical de P)/(coordenada horizontal de P).
Entonces tg α = PQ/OQ.
Se prolonga OP hasta cortar en D a la recta tangente a la circunferencia en C.
Por el teorema de Tales, PQ/OQ = CD/OC.
Como OC = 1, tg α = CD.

Cotangente

cotg α = tg (π/2 - α).

Secante:

Se define sec α = 1/cos α .

El teorema del cateto dice que un cateto al cuadrado es igual al producto de su proyección sobre la hipotenusa por la propia hipotenusa.

En el triángulo rectángulo OGP de la figura, se tiene entonces que OP²= OQ·OG.

Como OP = 1 y OQ = cos α , se tiene que 1 = cosα·OG.

Entonces 1/cosα = OG, es decir, que sec α = OG.

Cosecante:

cosec α = sec(π/2 - α).

En la siguiente figura, moviendo con el ratón el punto P, se puede observar el cambio de las seis funciones en conjunto:

► Bestiario: trigonometría.

Suma de los primeros términos de una progresión arítmética

Una progresión aritmética es una sucesión en la que cada término se obtiene sumándole al anterior una cantidad fija llamada diferencia. Un ejemplo sería la sucesión 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31..., que se obtiene partiendo de 3 y después sumando 4 a cada término para obtener el siguiente.

Sumar unos cuantos términos de una progresión aritmética es un problema muy sencillo si uno observa el siguiente esquema:

¿Cuánto suman 3 y 31? ¿Y 7 y 27? ¿Y 11 y 23? Pues sí, todas las sumas dan lo mismo, 34, lo cual es lógico si pensamos que lo que añadimos al coger por la izquierda un término más avanzado de la sucesión se compensa con lo que quitamos por la derecha al tomar un término menos avanzado (7 son 4 unidades más que 3, pero 27 son 4 unidades menos que 31).

Si lo que queremos es sumar, por ejemplo, los 8 primeros términos de la sucesión anterior, basta razonar de la siguiente manera: como son 8 términos se pueden formar 4 pares. Como cada par suma lo mismo que el primero más el último, la suma será 4·(3 + 31) = 136.

Generalizando obtenemos la fórmula, en la que a₁ es el primer término de la suma, a_n el último y n el número de términos.

En la conocida anécdota de Gauss y el pizarrín, nuestro héroe se dio cuenta del truco anterior a los diez años, y observando una serie bastante más fea: 81297 + 81495 + 81693 + ... + 100899. En cualquier caso, pese a la fealdad de los números, le bastó sumar 81297 y 100899 y multiplicar el resultado por 50 (o por cien y dividir luego entre dos) para dejar a su maestro hundido en la miseria para los restos.

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