Rumbo fijo (la proyección de Mercator)

Hubo un tiempo, aunque parezca mentira, en el que el sistema GPS no existía. Por no existir ni siquiera existían relojes con la precisión suficiente para calcular la longitud del meridiano en el que uno se encontraba cuando viajaba por mar. Por eso, la mejor forma de navegar de un sitio a otro era calcular un rumbo fijo para todo el trayecto y mantenerlo.

Estas líneas de rumbo fijo, llamadas también loxodromias, fueron concebidas en el siglo XVI por Pedro Nuñes, quien pensó erróneamente que daban la mínima distancia entre dos puntos, lo cual era de lo más deseable para los marinos, claro.

Sin embargo, no es así. La líneas que dan la mínima distancia entre dos puntos de una superficie se llaman geodésicas. Las de un plano son, obviamente, las rectas. Las de una esfera son las circunferencias de los círculos máximos, que son aquellos que comparten centro con la esfera. Es decir, que el camino más corto entre dos puntos de una esfera lo da la intersección entre dicha esfera y un plano que contenga su centro y ambos puntos.

Resulta que una loxodromia no es un círculo máximo sino una hélice esférica que en su camino da infinitas vueltas alrededor de los polos acercándose a ellos indefinidamente pero sin llegar nunca a alcanzarlos. Para ver qué pinta tiene una loxodromia contamos con el magnífico grabado de Escher que se ve a la derecha. Es de 1958 y se titula Espirales esféricas. No muestra una sino ocho líneas de rumbo fijo para distintos ángulos.

Otra alternativa es ejecutar el programa curvas3d.exe: con mucho menos arte pero más interactividad el programa permite ver líneas de rumbo fijo en 3 dimensiones y para cualquier ángulo (botón "hélice esférica").

Pese al error acerca de la distancia mínima, error que los marinos no enmendarían hasta que se dieron cuenta el siglo XIX que para acortar distancias lo mejor es seguir círculos máximos, lo cierto es que las loxodromias suponían un medio fiable para la navegación. El problema es que con las proyecciones utilizadas por aquel entonces en cartografía, la estereográfica o la cilíndrica, por ejemplo, las loxodromias eran muy dificiles de dibujar: recordemos que son hélices. Por eso Gerhard Kremer, más conocido como Gerardus Mercator, decidió buscar una tipo de proyección que diese sobre el plano las direcciones de las loxodromias. Su éxito fue absoluto, porque consiguió proyectarlas sobre el plano como líneas rectas. Esto significaba en la práctica que si un marino necesitaba saber el rumbo a seguir para ir desde desde un punto a otro de la Tierra le bastaría localizarlos sobre el mapa, unirlos con una línea recta y medir la inclinación de dicha línea respecto de la vertical, que indicaría el norte.

Para lograr tan extraordinaria proyección, capaz de conservar las direcciones (técnicamente hablaríamos de una aplicación conforme), Mercator tuvo que apañarselas con una intuición extraordinaria, porque la herramienta matemática que le hubiese permitido llevar a cabo su tarea cómodamente, el cálculo infinitesimal, aún no se había inventado.

Su proyección, que en realidad no lo es, porque la posición en el plano de cada punto de la esfera no se proyecta sino que se calcula, consiste en lo siguiente:

1. Los meridianos se dibujan como líneas paralelas verticales uniformemente separadas.
2. Los paralelos se dibujan como líneas paralelas horizontales de igual longitud. Esto implica, dado que los paralelos son menores a medida que nos acercamos a los polos, que hay que estirarlos.
3. Para que la proyección sea conforme, aquí está el truco, hay que aumentar la distancia de cada paralelo al ecuador en la misma proporción que dicho paralelo ha sido estirado horizontalmente.

Calcular el factor de estiramiento y separación de los paralelos es sencillo: la longitud del ecuador viene dada por 2πR, siendo R el radio de la Tierra. La longitud del paralelo de latitud φ es 2πr. Para que este paralelo aparezca en la proyección con la misma medida que el ecuador hay que estirarlo según la proporción (2πR)/(2πr) = R/r = secφ, siendo φ la latitud del paralelo en cuestión (► trigonometría).

Así de sencillo y así de genial. En la notación moderna, y gracias al cálculo, podemos expresar esta transformación mediante las ecuaciones siguientes, en las que λ es la longitud y φ la latitud de un punto P de coordenadas (x, y) sobre el plano: .

La proyección de Mercator no es perfecta, ni mucho menos: el que mantenga las direcciones se consigue a costa de deformar tanto las distancias como las superficies. Pero es que, como demostró el mismísimo Euler, no existe el plano perfecto, pues no hay forma de representar en un plano una superficie esférica sin distorsión.

En el caso de la proyección de Mercator vemos cómo Groenlandia aparece más grande que Améria del Sur, cuando es mucho más pequeña, o cómo aparece al sur un continente Antártico gigantesco, y es evidente que favorece a los países de la franja templada del hemisferio norte respecto de los países más ecuatoriales. Pero de ahí a pensar que este mapa esconde intencionalidades políticas hay un gran salto.

En cualquier caso es bueno saber que el mundo no es como aparece en este mapa. Sin cambiar de proyección se podría, por ejemplo, utilizar como ecuador cualquier otro círculo máximo. El mapa resultante seguiría valiendo para navegar y, sin embargo, el mundo aparecería con otro aspecto bastante diferente.

Y es que, como dice Osserman, "cada mapa es, en efecto, un compromiso".

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Bibliografía:

• Britannica ('loxodrome').
• To infinity and Beyond.
• Trigonometric Deligths.
• Poetry of the Universe.

Cantor y el infinito numerable

El cardinal de un conjunto

¿Cómo podemos decidir si dos conjuntos de cosas tiene la misma cantidad de elementos? Por supuesto podemos contarlos y ver si los números obtenidos al final son los mismos. Pero hay otra forma, que es intentar establecer entre ellos una biyección, es decir, una relación entre sus elementos de modo que a cada elemento de ambos conjuntos le corresponda uno y solo uno del otro conjunto. Si dicha biyección es posible podremos decir que ambos conjuntos tienen la misma cantidad de elementos, mientras que si no, pues no.

Este método de contar sin números es posiblemente uno de los primeros hallazgos matemáticos de los humanos. Antiguamente se contaba la cantidad de cabezas de los rebaños metiendo en una bolsita una piedra por cada una de ellas a medida que iban saliendo del aprisco, de modo que a la vuelta bastaba con sacar una de tales piedrecitas (en latín calculŭs) de la bolsa por cada oveja que entrase en el aprisco para saber que habían vuelto todas. También se han encontrado huesos con marcas que posiblemente sirviesen para algo similar.

La paradoja de Galileo y el infinito

Hasta aquí no parece que se haya dicho nada sorprendente. Las sorpresas viene cuando esto de comparar cardinales de conjuntos mediante biyecciones lo aplicamos a conjuntos muy grandes. Una de tales sorpresas se la llevó Galileo en el siglo XVI cuando se dio cuenta de que existe una biyección entre los números naturales y sus cuadrados:

La relación anterior es una biyección, pues a cada natural le corresponde un y solo un cuadrado perfecto (el suyo) y a cada cuadrado perfecto le corresponde un y solo un número natural (su raíz positiva). Gracias a esta biyección podemos emparejar los números de ambos conjuntos del mismo que emparejamos antes las piedras y las ovejas, por lo que podemos decir que ambos conjuntos numéricos son equipotentes, es decir, que tienen la misma cantidad de elementos.

Si se piensa un poco no es de extrañar que esta relación sea conocida como la paradoja de Galileo, pues nos muestra algo que resulta antiintuitivo, a saber: que hay tantos cuadrados perfectos como naturales. Es una forma de pensar habitual considerar que el todo es mayor que cada una de sus partes. Sin embargo, la biyección existente entre los números naturales y los cuadrados perfectos dice que una parte (los cuadrados perfectos) es, en lo que respecta a su cardinal, tan grande como el todo (los naturales).

Así se quedó el asunto hasta que en el siglo XIX Richard Dedekind llevase a cabo un giro conceptual extraordinario: en vez de considerar paradójica esta igualdad entre el todo y las partes, Dedekind pensó que este comportamiento digamos curioso de algunos conjuntos podía servir precisamente para caracterizarlos. De esta manera dio por primera vez una definición precisa de conjunto infinito: "Un conjunto S se llama infinito cuando es biyectable con una parte propia de sí mismo; en caso contrario se llama a S conjunto finito" . (Una parte de un conjunto se dice propia cuando no es el conjunto total). En este sentido, el conjunto de los números naturales es infinito. Y también el de los cuadrados perfectos, claro.

Numerabilidad y secuencias infinitas

Muchos se han preocupado del infinito a lo largo de la historia: Zenón volvió loco a todo el mundo con sus paradojas acerca de espacios y tiempos infinitamente divisibles; a Giordano Bruno le quemaron por afirmar la infinitud del universo y la existencia de una cantidad infinita de mundos; Newton y Leibniz se basaron en cantidades infinitamente pequeñas para crear el cálculo infinitesimal... Sin embargo, para que la matemática domesticase a bestia tan rebelde hubo que esperar al siglo XIX y al trabajo del ruso Georg Cantor.

Cantor rompió con dos ideas muy extendidas en su época: en primer lugar, defendió la existencia actual del infinito (actual en el sentido aristotélico, opuesto a potencial), pues consideraba que negarlo implicaba negar la existencia de los números irracionales, los cuales habían sido "construidos" por fin sobre bases firmes. En segundo lugar, y de un modo sorprendente, terminó con la creencia en que existe un solo infinito al demostrar que existía toda una jerarquía de ellos.

Para lo segundo Cantor tomó la idea de Dedekind de definir los conjuntos infinitos como aquellos equipotentes a un subconjunto propio y empezó a trabajar.

De la paradoja de Galileo se deduce que los cuadrados perfectos son equipotentes a los números naturales. Cantor utilizó por primera vez en 1882 el término numerable para etiquetar a los conjuntos que cumplen esta propiedad, ser equipotentes a los naturales, y se preguntó qué conjuntos numéricos la cumplían.

Una de las características de los números naturales es que se pueden escribir en secuencia. Gracias a ello, para demostrar que un conjunto es numerable basta encontrar un modo de poner todos sus elementos en forma de secuencia infinita. Si esto es posible es obvio que existe una biyección con los naturales, pues basta emparejar al primero con el 1, al segundo con el dos, al tercero con el tres y así sucesivamente (viene a ser lo que hacíamos al hacer que lasw ovejas saliesen del aprisco de una en una para contarlas cómodamente).

Utilizando este criterio es fácil ver que hay muchos conjuntos numerables además del ya visto de los cuadrados perfectos: los números pares, los impares, los primos... Escribo la secuencia de los conjuntos mencionados para que se vea lo que quiero decir:

Los números racionales

Visto lo visto, podríamos pensar que lo descubierto no es más que una peculiaridad de los números naturales (N), y que si los naturales tienen como una de sus características esenciales la secuencialidad tiene todo el sentido del mundo que sus subconjuntos hereden tal propiedad. Pero Cantor no estaba dispuesto a permitir este apacible estado de cosas y fue más lejos, mucho más lejos.

El siguiente conjunto objeto de su análisis fue el de los números racionales (Q), es decir, el de aquellos números que pueden representarse mediante un cociente de dos números enteros. Si los imaginamos representados gráficamente, veremos que son un conjunto denso, en el sentido de que entre dos números racionales siempre encontramos otro número racional (el punto medio, por ejemplo), a diferencia de los números naturales, cuyos elementos están aislados. En la figura de la derecha se puede ver cómo entre 1 y 2 la cantidad de racionales es infinita.

Aunque en la tabla hay repeticiones (para cada número racional hay infinitas fracciones que lo representan), siguiendo el camino indicado por las flechas y eliminando dichas repeticiones tendremos la secuencia de los racionales deseada. De tan elegante manera demostró Cantor la numerabilidad de Q (y, de paso, la numerabilidad del conjunto de las fracciones).

¿Todos los infinitos son numerables?

Recapitulemos: llamamos numerable a todo conjunto equipotente con el conjunto de los números naturales. Por el simple procedimiento de colocar todos los elementos de un conjunto en secuencia infinita hemos demostrado que son numerables el conjunto de los pares, de los impares, de los primos, de los cuadrados perfectos y, lo que es más sorprendente, el conjunto de los números racionales.

Es decir, que todos esos conjuntos infinitos, pese a estar incluidos unos dentro de otros, pese a parecer tener algunos de ellos muchos más elementos que otros, resulta que en realidad tienen todos el mismo cardinal. ¿No será que todos los conjuntos infinitos son numerables? Podríamos pensar así. Podríamos pensar que no tienen sentido hacer distingos entre unos infinitos y otros y que si dos conjuntos son infinitos no podemos decir que uno tenga más elementos que el otro, como hemos visto ocurre con los naturales y los racionales. Sí, podríamos pensar así, pero nos equivocaríamos, pues el mismo Cantor encontró un conjunto infinito no numerable, un conjunto que, pese a ser infinito, tiene un cardinal distinto del de N.

Pero por hoy ya está bien. Hablaremos de este asunto en otra ocasión.

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Bibliografía

• Transfinite Numbers
• ¿Qué son y para qué sirven los números?
• Boyer
• To infinity and Beyond
• Los lógicos

Newton y el teorema fundamental del cálculo.

Cuando se dice que Leibniz y Newton inventaron el cálculo infinitesimal no se pretende decir que ellos fuesen los primeros que trabajasen en este tipo de problemas. Dos mil años antes los griegos, con Eudoxo y Arquímedes a la cabeza, usaron para calcular tangentes y superficies métodos parecidos a los actuales. De hecho, algunos opinan que si los griegos no descubrieron el cálculo se debe a dos razones: su horror al infinito y no disponer del lenguaje apropiado: el álgebra.

Sea como fuere, la cuestión es que no lo hicieron, y tuvimos que esperar al siglo XVII de nuestra era para que un alemán y un inglés resolviesen el problema. ¿Y qué es lo que resolvieron? Básicamente dos cosas: por un lado desarrollaron un método general para obtener la derivada de cualquiera de las funciones usuales. Por otro, le dieron toda la importancia debida a la relación existente entre la derivada y la integral, relación que hoy se conoce, de modo nada exagerado, como teorema fundamental del cálculo. Este teorema dice, tecnicismos aparte, que derivar (es decir, calcular tangentes) e integrar (es decir, calcular superficies) son operaciones inversas la una de la otra.

La historia de cómo se dio cuenta Newton de esto arranca un poco antes de la invención oficial del cálculo. Uno de mis abogados favoritos, Pierre de Fermat, dedicado a su pasatiempo favorito, las matemáticas, consiguió uno de los logros más importantes en la larga carrera por resolver el problema de la superficie. Su hallazgo consistió en cuadrar (así le decían antes a esto de hallar superficies bajo curvas) toda una familia uniparamétrica de curvas, es decir, toda una colección infinita de ellas, de una vez y con una sola fórmula.

En concreto, lo que vio es que al área bajo las curvas de la forma desde x = 0 hasta x = a viene dada por la expresión . En la figura podemos ver un ejemplo: el área de la superficie coloreada de azul es, según la fórmula obtenida por Fermat, a³/3.

Han pasado unos años. Newton está embarcado en sus investigaciones acerca de cómo es el universo. Para él mundo es algo dinámico, algo en permanente cambio: su pensamiento especula con variables que cambiaban con el tiempo. De hecho, a las variables las llama fluentes y a sus velocidades de cambio, fluxiones. Lo que Newton quiere es conocer a qué ritmo cambian las variables físicas a medida que el tiempo fluye...

Esta forma de percibir el mundo le llevó a abordar los problemas desde dos perspectivas distintas: cuando se ponía el traje de matemático veía las curvas como relaciones entre las variables de una ecuación. Pero luego, o simultáneamente, o antes, vaya usted a saber, se ponía el de físico y entonces veía las curvas como expresiones de movimientos. A través de esta doble visión llegaría el descubrimiento de que el problema de la tangente y el problema de le velocidad eran en realidad uno y el mismo...

Pero Newton no solo abordó el problema de cómo calcular fluxiones de fluentes, es decir, la velocidad de cambio de una variable respecto de otra (lo que hoy llamamos derivar), sino que también se planteó el problema inverso, a saber, calcular fluentes de flusiones, o lo que es lo mismo, averiguar el comportamiento de una variable conocida su velocidad de cambio (antiderivar o, como decimos hoy, obtener una primitiva).

Un buen día, Newton, consiguió antiderivar la familia de funciones. Averiguó que las primitivas correspondientes son las funciones de la forma y =.

Estas fórmulas... ¿te suenan a algo, lector? A Newton sí le sonaron: al obtenerlas le recordaron de inmediato las que dedujera Fermat para la cuadratura de y que se han visto un poco más arriba. Newton sabía que en matemáticas no hay coincidencias. Por muy extrañas que pudiesen parecer entre sí las operaciones que realizaran Fermat y él mismo, aquella "casualidad" en realidad implicaba una conexión. A partir de aquel primer caso tiro del hilo y, aunque nunca llegó a dar una demostración formal del asunto, llegó a convencerse de que calcular primitivas y calcular superficies eran en realidad operaciones idénticas. O, lo que es lo mismo, y dado que calcular una primitiva es lo inverso de obtener una función derivada, que el cálculo de tangentes y superficies son problemas inversos.

La importancia de esto es enorme: dado que el mismo Newton había desarrollado métodos para derivar casi cualquier cosa, el que el problema de la superficie se pudiese resolver mediante cálculos de primitivas permitía de pronto cuadrar no una curva o una familia uniparamétrica de curvas, sino una inimaginable colección de ellas.

Pero aún más importante, es una opinión, es que se estableció una nueva conexión, un nuevo puente entre conceptos hasta entonces separados.

La tangente y la superficie... quién lo diría.

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e: The Story of a number, pp.44, 79; Men of mathematics, pp.27, 30; Isaac Newton, pp.42-46.

La irracionalidad de la raíz de dos

Según E. T. Bell, la segunda gran contribución de Pitágoras (mejor habría que decir "de la escuela pitagórica") a las matemáticas fue, aunque le humillase y entristeciese, el descubrimiento de los números irracionales. Lo que no está tan claro es en qué contexto se realizó tal descubrimiento: muchos opinan que fue al aplicar el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo isósceles, mientras que otros creen que fue al estudiar las propiedades del pentágono estrellado, símbolo de los pitagóricos.

Sea como fuere, ambos trabajos proporcionaron los primeros ejemplos de números irracionales, la raíz de dos el primero y la razón áurea el segundo. Vamos a centrarnos en este artículo en la raíz de dos.

Inconmensurabilidad

Lo que realmente demostraron los pitagóricos fue que la diagonal de un cuadrado y su lado no son conmensurables, lo cual quiere decir que no tienen una medida común o, dicho en términos modernos, que su cociente no es igual a ningún cociente de números enteros. La sencillez de la demostración la ha convertido en paradigma del método de reducción al absurdo. Aunque la prueba pitagórica original no se ha conservado, una cita de Aristóteles acerca de una demostración en la que se utilizan los números pares e impares permite la siguiente reconstrucción:

Terorema: la diagonal de un cuadrado y su lado son inconmensurables.

Demostración:

Sea h la diagonal de un cuadrado y c su lado.

Por el teorema de Pitágoras: h² = c² + c² = 2c²

Entonces:

Supongamos que h y c son conmensurables. Entonces existen dos números naturales a y b, primos entre sí, tales que .

Entonces:

De la última igualdad se deduce que a² es par, por lo que a debe ser par (y por tanto b impar, al ser primos entre sí).

Sea r natural tal que a = 2r.

Se tiene entonces: a² = (2r)² = 4r² = 2b²

Simplificando: 2r² = b²

De la última igualdad se deduce que b² es par, por lo que b debe ser par, pero esto es una contradicción, pues se ha dicho previamente que b es impar.

Por tanto, h y c son inconmensurables.

Raíz de dos, irracionalidad

La irracionalidad de se deduce como aplicación directa del teorema anterior al cuadrado unidad. Sin embargo, lo habitual es encontrar la siguiente demostración, adaptación de la anterior:

Supongamos que es racional. Entonces existen dos números naturales a y b, primos entre sí, tales que .

Entonces:

De la última igualdad se deduce que a² es par, por lo que a debe ser par (y por tanto b impar, al ser primos entre sí).

Sea r natural tal que a = 2r.

Se tiene entonces: a² = (2r)² = 4r² = 2b²

Simplificando: 2r² = b²

De la última igualdad se deduce que b² es par, por lo que b debe ser par, pero esto es una contradicción, pues se ha dicho previamente que b es impar.

Por tanto, es irracional.

Otra demostración aún mejor...

Otra demostración clásica es la de Euclides, quien en la proposición 9 del libro X de sus Elementos demostró que si dos magnitudes son conmensurables entonces también lo deben de ser sus cuadrados.

Sin embargo, mi preferida es la siguiente:

Empezamos como antes, suponiendo que es racional y que por tanto existen dos números naturales a y b tales que a² = 2b².

Si descomponemos a² en factores primos es obvio que aparecerán los factores de a pero duplicados. Y lo mismo ocurrirá con b². Sin embargo, en la expresión 2b² hay un 2 desparejado. Contradicción.

Nota: observese que esta demostración es aplicable a cualquier natural que no sea un cuadrado perfecto, de modo que sirve para demostrar que toda raíz cuadrada de un número natural o es entera o es irracional.

Nota necrológica

Unos dicen que Hipaso murió al ser arrojado al mar por divulgar la esfera de doce pentágonos (el dodecaedro). Sin embargo, otros aseguran que el que fue castigado fue el que divulgó la doctrina de los números irracionales y los inconmensurables. Yo, a fin de cuentas, no he divulgado nada que no se supiese...

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Fuentes:

• Boyer, pp.106-107.
• Vida pitagórica, p.66,141-142.
• Experiencia matemática, p.221.
• Men of mathematics, pp.21-22.
• web: Elementos de Euclices, Libro X, proposición 9.

El triángulo de ...¿Pascal o Tartaglia?

Nano, el 10-11-2002, planteó la siguiente cuestión:

Coeficientes del binomio de Newton: Son números combinatorios, pero mucho más fáciles de extraer mirando el triángulo de... ¿Pascal? ¿o mejor Tartaglia? ¿Fue el hombre del movimiento parabólico, o el de las presiones, o ambos a la vez como pasó con las integrales...?

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Pues ni uno ni otro: hay documentos chinos con el célebre triángulo de 1303, y se sabe que el poeta (absolutamente recomendable) y matemático Omar Khayyam ya lo conocía allá por el 1100. No sería hasta el Renacimiento cuando llega, o se reinventa, eso no lo sé, a Europa.

El que se le asocie el nombre de Pascal se debe a que el francés escribió el primer tratado sobre el triángulo. Lo de Tartaglia viene porque el italiano fue de los primeros que lo publicaron en Europa. Y es que por aquellos tiempos el tema de la autoría no se cuidaba demasiado.

Raíces infinitas

Faustino Lobo Fernández, el 9-2-2004, escribió:

Después de rebuscar por la Red, la expresión de la sección áurea como raíz infinita es lo único que se parece a algo que encontré hace unos años, pero que hasta hace muy poco no me preocupé en preguntar qué parte de las matemáticas podía estudiar este tipo de expresiones. La formula que encontré es:

Lo que me gustaría saber es si esta fórmula ya se conoce y si existe algo más general sobre este tipo de expresiones (raíces infinitas).

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La fórmula que señalas es un caso concreto de todo un tipo de fórmulas obtenidas por recurrencia, como la que has visto en Epsilones para la razón áurea.

A estas fórmulas se puede llegar de muchas maneras:

1. Se define por recurrencia una sucesión y se calcula su límite:

a₁ = √(2)

a_n+1 = √(2 + a_n)

El cálculo del límite es muy sencillo:

Si

(1) L = √(2 + √(2 + √(2 + ...)))

entonces

(2) L = √(2 + L)

Elevando al cuadrado:

(3) L² = 2 + L,

ecuación de segundo grado que tiene por soluciones L = 2 y L = -1.

L = -1 no cumple (2), luego la unica solución válidad es L = 2, lo que nos da la fórmula

(4) 2 = √ (2 + √(2 + √(2 + ...))).

2. Se genera la fórmula a partir de una fórmula cierta:

Se parte de : 2 = √(4),

o, lo que es lo mismo, 2 = √(2 +2).

Sustituyendo el 2 de la derecha por el valor que nos da la fórmula para el dos de la izquierda, tenemos:

2 = √(2 + √(2 +2))

Repitiendo el proceso hasta el infinito, tenemos de nuevo la fórmula (4).

(Algo parecido se hace en Epsilones - fórmulas)

3. Se plantea una ecuación con la fórmula deseada y se busca su solución:

Si

(1) x = √(x + √(x + √(x + ...)))

entonces

(2) x = √(x + x)

Elevando al cuadrado,

(3) x² = 2x,

ecuación de segundo grado que tiene por soluciones x = 2 y x = 0.

x = 0 es una trivialidad. Pero x = 2 nos da de nuevo la fórmula buscada.

(Algo semejante se hace en Epsilones - Problemas)

La parte de la matemática que se ocupa de procesos infinitos como las sucesiones es el análisis matemático, que también se ocupa de las funciones y del cálculo diferencial e integral.

No puedo decirte cuándo fue la primera vez que se mencionó esta fórmula porque no lo sé, pero estoy por asegurar que no se sabe, como no se sabe quién expresó por primera vez la razón áurea mediante raíces infinitas.

Geometría fractal y geometría sagrada

Jaione Valdés, el 26-10-2003, escribió:

Hola, podrías explicarme de forma sencilla qué es la geometría fractal?, y si existe alguna relación con la geometría sagrada?

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La geometría fractal se ocupa del estudio de aquellas formas que presentan, dicho en términos llanos, dos características fundamentales: Una gran rugosidad. Autosimilitud, propiedad que consiste en que la forma del objeto presenta el mismo aspecto al ser observada a distintas escalas. Un ejemplo típico de fractal natural es la hoja de helecho: si cogemos una de sus partes y la ampliamos, nos encontraremos con la misma forma inicial. En las fractales matemáticas, esta autosimilitud se da en todas las escalas (por cierto: la figura de la derecha no es un helecho, sino la gráfica de un sistema de función iterada). Se pueden ver varios ejemplos de fractales en Antes de Mandelbrot y en Fractales.

Por otra parte, la llamada "geometría sagrada" pretenden relacionar algunos objetos geométricos con principios metafísicos y fundamentos sagrados. En resumidas cuentas, otro intento de apuntalar la superstición por medio de la imitación de las técnicas científicas.

En cuanto a si tienen algo que ver, depende a quién le preguntemos: ni Hausdorff , ni Julia, ni Mandelbrot, algunos de los padres fundadores de la geometría fractal, estaban pensando en nada sagrado cuando elaboraron sus definiciones y teoremas. Sin embargo, estoy seguro de que algún listo ya habrá utilizado las fractales para justificar o simbolizar alguna creencia esotérica.

Infinito menos infinito... ¿cuánto es?

Anónimo, el 1-12-2004, escribió:

De acuerdo a definiciones que he podido obtener, infinito no es un número mensurable. Por lo tanto, dado que no hay forma de conocer las cantidades que estoy restando, en mi opinion, infinito menos infinito es INFINITO.

Tengo varios colegas que difieren con opiniones sobre que el resultado es cero o se encuentra en un entorno cercano a cero.

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Antes de poder decir cuál es el resultado de una operación, hay que preguntarse qué significa exactamente. ¿Qué significa restar dos infinitos? Para intentar hacernos una idea, vamos a aproximarnos a la cuestión desde dos puntos de vista distintos: uno analítico y otro conjuntista.

Aproximación análitica

Infinito puede ser el resultado de un paso al límite. Podemos ver que pasa cuando restamos dos sucesiones de límite infinito.

Sean las sucesiones siguientes:

• a_n = n;
• b_n = n²;
• c_n = n + x, donde x es un número real cualquiera.

Tomando límites se tiene:

• lim a_n = lim b_n = lim c_n = ∞

Ahora, si restamos las funciones y tomamos límites, tenemos:

• lim (b_n - a_n) = lim (n² - n) = ∞
• lim (c_n - a_n) = lim (n + x - n) = lim x = x

Conclusión provisional: al restar dos sucesiones de límite infinito, la sucesión resultante puede tener por límite cualquier cosa.

Aproximación conjuntista

Infinito también puede ser el cardinal de un conjunto, es decir, la cantidad de elementos que tiene. La idea ahora es coger un conjunto de cardinal infinito, quitarle subconjuntos de cardinal también infinito, y ver cuál es el cardinal del conjunto resultante. No es muy distinto de lo que hacemos cuando para explicarle a un niño cuánto es tres menos dos le decimos : “si tengo tres manzanas y me como una, ¿cuántas manzanas me quedan?”.

Sean los siguientes conjuntos:

• N = {1, 2, 3, 4 ...}, es decir, el conjunto de los números naturales (sin el cero, por comodidad).
  
• P = {2, 4, 6, 8 ...}, es decir, el conjunto de los números pares.
  
• I = {1, 3, 5, 7 ...}, es decir, el conjunto de los números impares.
  
• A1 = N - {1}, es decir, el conjunto de los naturales excepto el 1.
  
• A2 = N - {1, 2}, es decir, el conjunto de los naturales excepto el 1 y el 2.
  
• ...
  
• An = N - {1, 2, ..., n}, es decir, el conjunto de los naturales excepto el 1, el 2, el 3, ... y el n.
  

Entenderemos por A - B el conjunto resultante de quitarle al conjunto a los elementos del conjunto B. Veamos algunos casos:

1. N - N = Ø

Si al conjunto de los números naturales le quitamos todos los números naturales, ¿qué nos queda? Pues nada. Al conjunto que no tiene elementos en matemáticas se le llama conjunto vacío y se le representa con el símbolo Ø. Su cardinal, por supuesto, es cero.

Según lo dicho, ∞ - ∞ = 0.

2. N - P = I

Está claro: si a los naturales le quitamos los pares quedan los impares.

Entonces: ∞ - ∞ = ∞.

3. N - A1 = {1}

Al conjunto de los naturales le hemos quitado todos los naturales excepto el 1.

Entonces: ∞ - ∞ = 1.

4. N - An = {1, 2, ..., n}

Al conjunto de los naturales le hemos quitado todos los naturales excepto el 1, el 2, el 3, ... el n.

Entonces: ∞ - ∞ = n.

Conclusión: si a un conjunto con una cantidad infinita de elementos le quitamos una cantidad infinita de elementos, el conjunto resultante puede tener... cualquier cantidad de elementos, incluso ninguno.

Conclusión provisional

Ninguna de las dos aproximaciones nos da una idea de cómo podemos definir la resta de infinitos para que tenga sentido. Yo no conozco ninguna, pero eso no quiere decir nada, claro.

Teoría de cuerdas y teoría del caos

Pedro Daniel Carrillo, el 20-3-2005, escribió:

Ya que te escribo aprovecho para sugerir un temilla, que no es estrictamente matemático ni estoy seguro de que no haya sido abordado en algún lugar de la web, pero que me resultaría interesante. He escuchado algo de Teoría de cuerdas y Teoría del caos, y probablemente un resumencillo o introducción a ellas, de que van, como pretenden explicar el mundo, puede tener cabida en algún lugar de la página. ¿Me estoy equivocando? ¿Hay más teorías con un alcance similar? ¿Son de algún modo matemáticas?

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Los temas mencionados son muy interesantes, bastante complicadillos, y no tienen nada que ver. La teoría de cuerdas es una teoría física que intenta poner de acuerdo la relatividad general de Einstein y la mecánica cuántica. Dicen que es la mejor candidata a una teoría del todo, pero tiene varios problemas: 1) su formulación matemática es muy compleja; 2) en realidad no hay una, sino varias teorías; 3) su prueba experimental está fuera del alcance de los medios técnicos de hoy día. La idea básica es que las partículas elementales son en realidad pequeñas cuerdas unidimensionales (aunque también se habla de membranas y otros objetos) cuyas propiedades surgen de sus patrones de vibración. Es decir, que según vibran así son. En este sentido es una teoría muy matemática.

La teoría del caos es una teoría completamente matemática, y estudia el comportamiento de ciertos sistemas que son muy sensibles a las condiciones iniciales. Un ejemplo real que puede servir de ejemplo es el tiempo meteorológico: pequeños cambios en cualquiera de sus variables (temperatura, presión, humedad...) puede dar lugar a efectos extraordinarios (es el famoso "efecto mariposa"). Los sistemas caóticos presentan con frecuencia atractores (estados a los que tiene el sistema) de tipo fractal. Son los también famosos "atractores extraños".

¿Matemática o matemáticas?

Una duda: Tengo entendido que el término correcto es matemática. ¿Por qué se empeñan en decir matemáticas, en plural?

Edward, 2-4-2005

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A mi modesto entender las dos formas, singular y plural, son correctas. El DRAE, por poner un ejemplo, admite ambas.

Otro ejemplo: mi licenciatura por la Universidad Complutense de Madrid no es en "Ciencia matemática", sino en "Ciencias matemáticas".

Supongo que al utilizar uno u otro número, singular o plural, inconscientemente queremos hacer hincapié bien en su unidad bien en la variedad de sus ramas: cálculo, topología, geometría, probabilidad...

¿Por qué piensas que "el término correcto es matemática"?

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¿Has escuchado hablar de la Física como "Las Físicas" o a la Química como "Las Químicas"? Tampoco se podría decir Biologías. Medicinas tampoco es un término aceptable aunque si se hable de las "Ciencias Médicas" porque incluyen otras ciencias como seguramente ocurre en "Las Ciencias Matemáticas".

Como tu ya lo has mencionado el término "Matemática" involucra una unidad y en mi modesta opinión respaldada además por amigos especializados en lingüistica, es el correcto.

Salvo mejor saber o entender.

Edward, 3-4-2005

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Pues no, no decimos "las físicas", pero sí que decimos "ha hecho físicas", mientras que no decimos "ha hecho médicas". Vamos, que la casuística es variada.

No sé cuáles son las razones de tus amigos lingüistas. Por mi parte, pienso que la corrección lingüística la da el uso, y lo cierto es que el uso más extendido es el del plural. Y desde hace tiempo: por poner un ejemplo (el que tengo más a mano) el Vocabulario Matemático-Etimológico de Don Felipe Picatoste y Rodríguez de 1862 el término que recoge es "matemáticas" y no "matemática".

Para confirmar lo dicho por el DRAE he hecho una consulta a la Real Academia Española en los siguientes términos: "¿'Matemática' o 'matemáticas'? Su respuesta ha sido la siguiente: "En principio, ambas son igualmente correctas, aunque es más frecuente el uso en plural, MATEMÁTICAS. Le sugerimos la consulta de textos reales de uso en nuestros bancos de datos."

El porqué de esta preferencia de los hablantes por el plural en el caso de las matemáticas no lo sé, pero me aventuro a decir que se debe a su carácter instrumental. La física es una ciencia, mientras que las matemáticas son, casi siempre, esas cosas que se hacen para resolver problemas. Esto, por supuesto, es pura especulación.

También puede que sea importante la influencia del inglés. Esto es otra especulación.