Monumentum pro mathematica "Quadrivium somniat"

El año 2011 la Real Sociedad Matemática Española cumplió cien años. Con este motivo le encargó al compositor Guillermo Martínez una obra conmemorativa.

El resultado es este Monumentum pro Mathematica, "Quadrivium Somniat", fantasía para orquesta de cámara y soprano.

Según cuenta Ismael González Arias en El sonido de los números, la obra "parte de textos dispersos hacia un fin común, todos ellos vinculados con la matemática: unos versos tradicionales hinduistas («el cero respira por sí mismo, sin aliento»), el verso de Rafael Alberti dedicado a la divina proporción, la secuencia de Fibonacci (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8...) y una célebre frase de Albert Einstein («las matemáticas puras son, a su manera, la poesía de las ideas lógicas»). Con ellos construye un universo sonoro diverso, que va desde un arranque en una melodía de aire oriental, al ambiente brillante con que arranca el pasaje que irá hacia la melodía del verso de Alberti, para llegar al pasaje más complejo sobre la secuencia matemática y el final de rentrée de todos los temas empleados".

Tiene momentos exóticos, de aire oriental; momentos poderosos, de marcha; y otros de intenso romanticismo. Y los recitados son sugerentes, misteriosos. Un bocado variado y exquisito pleno de sabores.

Espero que nadie se enfade porque os ponga aqui un pequeño fragmento sin editar interpretado por el Ensemble Ars Mundi dirigido por Yuri Nasushkin.

Las estructuras repetitivas de Philip Glass

Philip Glass estudió matemáticas y filosofía en la Universidad de Chicago. Uno de sus héroes de juventud fue el señor Einstein (su primera ópera se titularía Einstein on the Beach). Después le daría por la música, y se convirtió en una de las grandes figuras del minimalismo musical. Como es normal, rechaza la etiqueta, aunque para ello se invente otra al decir que lo suyo es trabajar con "estructuras repetitivas".

En cierta ocasión dijo en The Wall Street Journal:

"Mathematicians are subject to the same kinds of enthusiasms as everybody else. The beauty of mathematics is something that mathematicians talk about all the time, and the elegance of a mathematical theorem is almost as good as its proof. Not only is it true, but it's elegant. So you get into almost aesthetic questions."

"Los matemáticos experimentan los mismos tipos de entusiasmos que todos los demás. La belleza de las matemáticas es algo de lo que los matemáticos hablan todo el tiempo, y la elegancia de un teorema matemático es casi tan buena como su prueba. No sólo es cierto, sino que es elegante. Por lo que entramos en cuestiones cuasi estéticas."

La influencia de la matemática no solo es visible en la repetición de estructuras musicales, o en su filosofía estética: también la utiliza directamente como material sonoro, como en el caso de sus knee plays, pequeñas piezas musicales que sirven para entretener al personal mientras se realizan los cambios de escenario. En estas piezas se puede escuchar una voz recitando números. Lo curioso es que resulta de los más sugerente.

Contar sin darse cuenta

Dijo Leibniz:

“La música es el inconsciente disfrute que experimenta el espíritu al contar sin darse cuenta de que está contando”.

Las Intégrales de Varèse

Un par de citas del señor Varese bastan para explicarlo todo:

"Me proporciona mayor inspiración la contemplación de las estrellas -preferiblemente con telescopio- y la profunda poesía de ciertas explicaciones matemáticas que la charla más sublime acerca de las pasiones humanas; estimulan mi imaginación y me dan la impresión de movimiento, de ritmo...".

"...mi música no es un relato, no es una ilustración, no es una abstracción filosófica o psicológica. Es simplemente música. Tiene una forma definida que puede percibirse más correctamente escuchándola y no elucubrando sobre ella, el análisis es estéril y el título de una partitura no tiene ninguna importancia".

Estoy de acuerdo: el título no tiene importancia (soy de quienes, en la música programática, están del lado de la música), aunque hay que reconocer que algunos títulos tienen un poder evocador extraordinario: Hyperprism, Octandre, Ionisation, Density 21.5, Intégrales...

*

Otro texto interesante es este que formó parte de una conferencia que dio Varese en Princeton en 1959. Lo copio en inglés y a continuación traducido por un servidor (admito correcciones):

"Intégrales was conceived for a spatial projection. I constructed the work to employ
certain acoustical means which did not yet exist, but which I knew could be realized and
would be used sooner or later . . . Whereas in our musical system we divide up quantities
whose values are fixed, in the realization I wanted, the values would have been
continually changing in relation to a constant. In other words, it would have been like a
series of variations, the changes resulting from slight alterations of a function’s form or
from the transposition of one function to another. In order to make myself better
understood—for the eye is quicker and more disciplined than the ear—let us transfer this
conception into the visual sphere and consider the changing projection of a geometrical
figure onto a plane surface, with both geometrical figure and plane surface moving in
space, but each at its own changing and varying speeds of lateral movement and rotation.
The form of the projection at any given instant is determined by the relative orientation of
the figure and the surface at that instant. But by allowing both figure and surface to have
their own movements, one is able to represent with that projection an apparently
unpredictable image of a high degree of complexity; moreover, these qualities can be
increased subsequently by permitting the form of the geometrical figure to vary as well as
its speeds."

"Intégrales fue concebida para una proyección espacial. Construí la obra para interpretarla utilizando ciertos medios acústicos que aún no existían, pero que sabía podrían realizarse y que acabarían usándose antes o después... Mientras en nuestro sistema musical dividimos cantidades cuyos valores están fijados, en la ejecución que yo quería, los valores cambiarían continuamente en relación a una constante. En otras palabras, sería como una serie de variaciones, de cambios resultantes de leves alteraciones de la forma de una función o de la transposición de una función en otra. Para explicarme mejor -porque el ojo es más rápido y más disciplinado que el oído- transfiramos esta concepción al campo visual y consideremos la proyección cambiante de una figura geométrica en una superficie plana, con la figura geométrica y la superficie plana moviéndose en el espacio, pero cada una con sus propias velocidades, cambiantes y diferentes, de movimiento lateral y de rotación. La forma de la proyección en un instante dado está determinada por la orientación relativa de la figura y la superficie en ese instante. Pero al permitir que la figura y la superficie tengan sus propios movimientos, uno es capaz de representar con esta proyección una imagen aparentemente impredecible de un alto grado de complejidad. Más aún: esas cualidades pueden incrementarse a continuación permitiendo que la forma de la figura geométrica varíe al igual que sus velocidades."

El teorema de Thales

Si hay unos músicos locos son Les Luthiers. Solo esto explica que a uno de ellos, antes incluso de existir el grupo, se le ocurriese "acoplarle una melodía cantable" al teorema de Thales como recurso mnemotécnico. El susodicho, Carlos Núñez Cortés, tenía 19 años por aquel entonces y era estudiante de ingeniería.

En el espectáculo, el narrador presentaba así la obra: "Johann Sebastian Mastropiero dedicó su divertimento matemático, op. 48, el "Teorema de Thales", a la condesa Shortshot, con quien viviera un apasionado romance varias veces, en una carta en la que le dice: "Condesa, nuestro amor se rige por el Teorema de Thales: cuando estamos horizontales y paralelos, las transversales de la pasión nos atraviesan y nuestros segmentos correspondientes resultan maravillosamente proporcionales"".

La obra, así como la letra y otras informaciones, se puede encontrar en www.lesluthiers.org. También existe un vídeo, realizado por Nicolás y Matías, en el que, al tiempo que suena la música de Les Luthiers, se ejemplifica el teorema mediante imágenes de distintos lugares de Buenos Aires.

Pi

En la dirección http://pi.ytmnd.com/ se puede escuchar una canción sobre el número π cuyo autor es, creo, Kraln. Otro genial hallazgo de Juanma, infatigable explorador del mundo geek.

Personalmente he de reconocer que la musiquilla me gusta (es puro Magellan), y que la letra, aunque sea irracional, resulta trascendente.

Juanma encontró el enlace en www.microsiervos.com.

Tubos de órgano

Cederik, en un trabajo titulado Mecánica del sonido: columnas oscilantes de aire "Tubos de órgano", combina sus conocimientos como físico y como organista para hablarnos de distintos aspectos acerca del funcionamiento del órgano de tubos: registros, espectros, armónicos, series de Fourier... Un interesante punto de partida para la física del sonido. El trabajo está contenido en un archivo en formato pdf y se puede descargar aquí comprimido en 769 Kb.

Por cierto: el premio Abel de matemáticas del 2006 se le ha concedido al sueco Lennart Carleson por su "profunda contribución al análisis armónico", que incluye, precisamente, teoremas acerca de qué funciones pueden desarrollarse mediante series de Fourier.

Stravinski ante el infinito

“¿Estoy, pues, obligado a perderme en este abismo de libertad? ¿A qué podré asirme para escapar al vértigo que me atrae ante la virtualidad de este infinito? Pero no he de perecer. Venceré mi terror y me haré firme en la idea de que dispongo de siete notas de la gama y de sus intervalos cromáticos, de que el tiempo fuerte y el tiempo débil están a mi disposición y de que tengo así elementos sólidos y concretos que me ofrecen un campo de experimentación tan vasto como la desazón y el vértigo del infinito que antes me asustaban.”

Ígor Stravinski, Poética musical, p.65.

Mandelbrot Set

Juanma nos informa de la existencia de una canción titulada Mandelbrot Set. Pertenece al álbum de 2004 Where Tradition Meets Tomorrow de Jonathan Coulton.

El título ya llama la atención, pero es que la letra menciona además otras famosas fractales, como la curva de Koch, el conjunto ternario de Cantor, el triángulo de Sierpinski... Incluso habla de una mariposa que agita sus alas.

Dice que le dan miedo, y que las odia, y que le hacen llorar. Él sabrá por qué.

He aquí un fragmento:

Every one of them is a splinter in my eye
I hate the Peano Space and the Koch Curve
I fear the Cantor Ternary Set
And the Sierpinski Gasket makes me want to cry
And a million miles away a butterfly flapped its wings
On a cold November day a man named Benoit Mandelbrot was born

En la web de Coulton se puede leer la letra completa, así como escuchar la canción, en un estilo pop-rock ligeramente naïf. Tiene su gracia.

Los tres pentágonos de la Philharmonie

El edificio de la Filarmónica de Berlín fue diseñado por el arquitecto Hans Scharoun. Se inauguró el 15 de octubre de 1963 y desde entonces ha sido modelo para muchos otros auditorios en todo el mundo (por ejemplo, el Auditorio Nacional de Música de Madrid).

Por fuera tiene un aspecto extraño, a medio camino entre una pagoda y una carpa (parece ser que al edificio le llamaban "el circo de Karajan"). Por dentro, la sala de conciertos es sencillamente espectacular: el escenario para la orquesta se ubica en el centro de la sala mientras que el público se reparte en terrazas a distintos niveles alrededor de los músicos.

El logo que se puede ver a la izquierda alude al hecho de que la planta de la sala se corresponde con tres pentágonos entrelazados. La idea de Scharoun era simbolizar la perfecta armonía entre público, música y espacio.

Una pega: si tu localidad no está en la zona que correspondería al patio de butacas tradicional corres el peligro de perderte algunas cosas, como las voces solistas, o los violines...

Segunda sinfonía de Górecki, "Copernicana"

En 1973 se conmemoró el 500 aniversario del nacimiento del astrónomo polaco Nicolás Copérnico, en cuyo honor el compositor Henryk Górecki escribió su segunda sinfonía, llamada por este motivo “Copernicana”.

No tengo ni idea de lo que querría decir Gorecky con su obra, pero sus dos movimientos nos hablan con lenguajes muy distintos. En el primero, una música inhumana, implacable y despiadada parece describir un universo dominado por las tinieblas. Sin embargo, en el segundo, parece que la luz lo inunda todo poco a poco, como si el conocimiento hubiese disipado la oscuridad y colocado las cosas en su sitio.

Uno de los aspectos centrales de la revolución copernicana es que reavivó el debate acerca de si los modelos matemáticos son descripciones de la realidad o únicamente artificios útiles para salvar los fenómenos (es decir, para calcular su comportamiento con exactitud).

Quien escuche la música de Górecki creo que no dudará acerca de cuál es su punto de vista .

Escala bien temperada

Según se cuenta en Historias matemáticas, Pitágoras encontró que la longitud de las cuerdas que producían sonidos armonicos mantenían relaciones numéricas simples entre sí. Esto mismo se puede ver en las frecuencias correspondientes a los sonidos de la escala de do mayor, indicadas en la segunda columna de la tabla, y las razones correspondientes a cada frecuencia respecto de la frecuencia del do bajo (264).

En la columna derecha están escritos los factores por los que hay que multiplicar una frecuencia para obtener la superior. Por un lado tenemos dos factores bastante parecidos, 9/8 y 10/9, y otro bastante más pequeño, 16/15. A los dos grandes se les llama tonos y al pequeño, semitono. De este modo, los intervalos (distancia entre notas) de la escala de do mayor serían tono-tono-semitono-tono-tono-tono-semitono.

Hasta aquí está todo muy bien, pero tenemos un problema, la afinación de ciertos instrumentos, como los teclados. Puede ser que se quiera interpretar una composición en una escala distinta, por ejemplo para hacerla más aguda y adaptarla a la tesitura de un cantante particular. Empecemos en re en vez de en do: el primer paso no da demasiados inconvenientes: aunque el paso de re a mi tiene un factor de 9/8 en vez de los 10/9 del paso de do a re, la diferencia puede asumirse. Lo malo viene cuando queremos dar el siguiente salto, que también debe ser de un tono completo. Pero es que detrás de mi va fa, un semitono, con lo cual deberemos juntar dos semitonos. Pero eso implica realizar la multiplicación (16/15)·(16/15) = 256/225 = 1,138, valor muy alejados de los tonos disponibles, 9/8 = 1,125 o 10/9 = 1,111.

La solución adoptada, que Bach se encargaría de universalizar, fue de compromiso: hagamos que todos los semitonos sean iguales. Sabemos que para pasar de una nota a su octava superior hay que multiplicar la frecuencia por dos. Si queremos consegir lo mismo pero con doce saltos, es decir, con doce semitonos, la frecuencia x correspondiente a cada semitono, se obtendrá de la ecuación: x¹² = 2, que nos da para x el valor: .

A esta nueva escala artificalmente construida se le llama escala bien temperada.

Música, matemáticas y cerebro

La relación entre música y matemáticas posiblemente tenga su raíz en el propio órgano que nos permite crear ambas: el cerebro.

Hoy día es posible saber qué partes del cerebro están en funcionamiento cuando un sujeto está realizando una actividad determinada. Aplicando estas técnicas, los investigadores han visto que los músicos expertos y los matemáticos expertos usan los mismos circuitos cerebrales, lo cual no siempre es cierto para los aficionados.

Esto tiene su lógica: los humanos utilizamos, por lo general, el hemisferio cerebral izquierdo para tareas verbales y analíticas, mientras que utilizamos el hemisferio derecho para tareas espaciales y visuales. Es decir, que el primero se encarga del análisis y la fragmentación y el derecho de la síntesis y la unidad.

Pues bien: cuando se es un profano, la música se escucha como un todo, es decir, se escucha con el hemisferio derecho, mientras que cuando se es un profesional la música se descompone en sus partes constituyentes y se escucha con el hemisferio izquierdo.

En cualquier caso, lo que parece cierto es que en toda actividad creativa necesitamos y utilizamos de las habilidades de ambos hemisferios.

El pentagrama: una escala logarítmica

Se llama escala logarítmica aquella en la que en vez de indicar el valor de la variable se señala su logaritmo. Si, por ejemplo, una magnitud toma valores en potencias de diez (10, 100, 1000, 10000...) representar estos valores en un eje resultaría bastante complicado. Sin embargo, si tomamos logaritmos decimales, el 10 (=10¹) se convertirá en 1, el 100 (=10²) en 2, el 1000 (=10³) en 3 y así sucesivamente.

Un ejemplo de escala logarítmica es el pentagrama utilizado en occidente para escribir música, pues, como se ve en el gráfico, la diferencia en la altura del sonido es proporcional al logaritmo de la frecuencia (de un do grave al do siguiente más agudo la frecuencia se dobla. Es decir: que la sucesión de frecuencias de las notas do están en progresión geométrica).

Astronomy (Jethro Tull)

Ian Anderson, un joven músico escocés, tenía una banda tan mala que para poder tocar con frecuencia tenía que cambiarle el nombre cada semana. Un buen día de 1968 su representante le propuso una nueva denominación: Jethro Tull, nombre y apellido de un agrónomo del siglo XVII cuyas ideas revolucionaron la agricultura inglesa. La cuestión es que aquel fue el último cambio: la banda empezó a funcionar, llegaron los éxitos, y hoy Jethro Tull es un clásico viviente.

Desde sus comienzos, Ian Anderson, compositor, escritor, cantante y multi-instrumentista (sus solos de flauta y sus rasgueados de acústica son legendarios), ha elaborado una música tremendamente personal en la que se fusionan elementos clásicos con otros de estilos como el blues, rock, folk, jazz o la música electrónica. Su originalidad hace difícil su clasificación dentro de los nichos musicales habituales, aunque con frecuencia se le encuadra dentro del llamado rock progresivo a causa de sus sofisticados arreglos instrumentales.

Las letras de Anderson combinan con poética maestría barroquismo, ironía y abundantes referencia a la cultura popular. En Astronomy, un tema del albúm Under Wraps (1984), Anderson habla acerca de un astrónomo, de Miss Galileo y de un gato que camina solo bajo una gran cielo nocturno.

Canon del Cangrejo (Bach)

El canon es una forma musical en la que las distintas partes se incorporan sucesivamente repitiendo la melodía de la voz principal. Lo sorprendente del Canon del Cangrejo de Johann Sebastian Bach es que el acompañamiento repite exactamente lo hecho por la voz principal pero en sentido inverso, lo cual se puede ver perfectamente en la partitura: el pentagrama de abajo repite lo escrito en el de arriba pero invertido en el tiempo. Lo diré de otra manera: una melodía interpretada marcha atrás se sirve de acompañamiento a sí misma.

No me extraña que Eli Maor haya escrito respecto de Bach y Escher que "ambos fueron matemáticos experimentales del más alto rango". No sé si alguno de los dos aceptaría tal descripción, pero lo que es evidente es que ambos exploraron hasta sus últimas consecuencias las posibilidades de la simetría.

El siguiente vídeo, magnífico, muestra cómo la partitura puede escribirse en un pentagrama sobre una cinta de Moebius:

Parallels (Yes)

Un buen día unos cuantos músicos se preguntaron por qué no intentar alcanzar con instrumentos eléctricos algo de la fuerza y complejidad de la música compuesta para orquesta sinfónica. Había nacido el rock sinfónico, y con él una de las dos o tres mejores bandas de la historia: Yes.

Mediante una composición elaborada y un virtuosismo instrumental espectacular han logrado una música que combina sorprendentemente exquisitez y potencia, y que es capaz de describir un mundo propio a medio camino de la ciencia ficción y de la fantasía heroica.

En Parallels, canción del álbum Going for the One (1977), Chris Square utiliza términos como paralelas, espacio o dimensión para evocar en el oyente mundos distintos a este, mundos cuya atmósfera mítica podemos respirar gracias a los sonidos de órgano de Rick Wakeman, a la ascensional guitarra de Steve Howe y a los agudísimos y "celestiales" coros. La entrada instrumental, apoyada en un sencillo pero efectivo tema del bajo de Square, es una joya en sí misma.

Nota técnica (Juanmi):

Las líneas instrumentales de una canción van "paralelas" armónica y rítmicamente hablando. Curiosamente, el tema de Yes lleva las dos líneas fundamentales de base cruzadas, es decir, desplazadas (bajo y teclado) por cuestiones de rítmica sin romper la armonía musical. La coherencia rítmica la define la batería que es quien marca la acentuación del tema. Dicho sencillamente, el bajo empieza "antes" que el teclado creando una sensación extraña de desplazamiento que nuestro sentido del ritmo se encarga de corregir cuando suena el resto de los instrumentos. Es lo que lo convierte en un tema de líneas paralelas pero desplazadas. Algo así como en un canon.