Calcula la derivada de la función \(F(x)=\displaystyle\int_{e^x}^{lnx} senx\,dx\).

SOLUCIÓN 1:

Primero calculamos la integral aplicando la regla de Barrow

Una primitiva de \(senx \text{ es } -cosx\). Entonces: \(F(x)=\displaystyle -cosx \Biggr]_{e^x}^{lnx}=-cos(lnx)+cos(e^x)\)

Ahora, derivamos: \(F'(x)=sen(lnx)·\dfrac{1}{x}-sen(e^x)·e^x\)

SOLUCIÓN 2:

El teorema fiundamental del cálculo nos proporciona una regla de derivación directa:

Primero desdoblamos la integral definida:

\(F(x)=\displaystyle\int_{e^x}^{0} senx\,dx+\int_{0}^{lnx} senx\,dx=-\int_{0}^{e^x} senx\,dx+\int_{0}^{lnx} senx\,dx\).

Ahora derivamos:

\(F'(x)=-sen(e^x)·e^x+sen(lnx)·\dfrac{1}{x}\)