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Existencia y unicidad de la solución
 

Demuestra que las gráficas de las funciones \(y = cos\ x\) e \(y =\sqrt{x}\) se cortan en un único punto.

SOLUCIÓN.

Sea \(f(x)= cos\ x - \sqrt{x}\). El problema es equivalente a demostrar que la función f(x) se anula en un unico valor de x.

1) Existencia

\(f(0)=1>0\)

\(f(1)=cos(1)-1<0\)

\(f(x)\) es continua en el intervalo \([0,1]\)

Por el teorema de Bolzano, \(\exists c\in(0,1) / f(c)=0\)

2) Unicidad

Supongamos que \(\exists a,b\in[0,1] / f(a)=f(b)=0\)

Como \(f(x)\) es continua en el intervalo \([0,1]\), derivable en \((0,1)\) y, por hipótesis, \(f(a)=f(b)\), por el teorema de Rolle \(\exists d\in(a,b) / f'(d)=0\)

Veamos que esto es imposible:

\[f'(x)= -sen\ x - \frac{1}{2\sqrt{x}}\]

Entonces:

\[f'(d)= -sen\ d - \frac{1}{2\sqrt{d}}=0\]

Pero \(d\) pertenece al intervalo \((a,b)\), que está incluido en \((0,1)\), y en este intervalo el seno es positivo. Como \(\frac{1}{2\sqrt{d}}\) también es positivo, \(f'(d)\) no puede ser cero. Hemos llegado a una contradicción. Por lo tanto, el supuesto es falso, es decir: no hay dos soluciones en el intervalo \([0,1]\).

Faltaría probar que no hay soluciones fuera de \([0,1]\).

Para \(x<0\) la raíz cuadrada no está definida.

Para \(x>1\) se tiene que \(cos\ x \le 1<\sqrt{x}\) y, por tanto, f(x) no puede ser cero.

Luego la solución es única.

 

 
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Alberto Rodriguez Santos
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