Sea \(f(x)= cos\ x - \sqrt{x}\). El problema es equivalente a demostrar que la función f(x) se anula en un unico valor de x.
\(f(0)=1>0\)
\(f(1)=cos(1)-1<0\)
\(f(x)\) es continua en el intervalo \([0,1]\)
Por el teorema de Bolzano, \(\exists c\in(0,1) / f(c)=0\)
Supongamos que \(\exists a,b\in[0,1] / f(a)=f(b)=0\)
Como \(f(x)\) es continua en el intervalo \([0,1]\), derivable en \((0,1)\) y, por hipótesis, \(f(a)=f(b)\), por el teorema de Rolle \(\exists d\in(a,b) / f'(d)=0\)
Veamos que esto es imposible:
\[f'(x)= -sen\ x - \frac{1}{2\sqrt{x}}\]
Entonces:
\[f'(d)= -sen\ d - \frac{1}{2\sqrt{d}}=0\]
Pero \(d\) pertenece al intervalo \((a,b)\), que está incluido en \((0,1)\), y en este intervalo el seno es positivo. Como \(\frac{1}{2\sqrt{d}}\) también es positivo, \(f'(d)\) no puede ser cero. Hemos llegado a una contradicción. Por lo tanto, el supuesto es falso, es decir: no hay dos soluciones en el intervalo \([0,1]\).
Faltaría probar que no hay soluciones fuera de \([0,1]\).
Para \(x<0\) la raíz cuadrada no está definida.
Para \(x>1\) se tiene que \(cos\ x \le 1<\sqrt{x}\) y, por tanto, f(x) no puede ser cero.
Luego la solución es única.