Vamos a calcular la inversa de la matriz \[A=\begin{pmatrix}{2}&{-2}&{2}\\{2}&{1}&{0}\\{3}&{-2}&{2}\end{pmatrix}\]

Para ello le añadimos la matriz identidad:

\[\begin{pmatrix}{2}&{-2}&{2}&{|}&{1}&{0}&{0}\\{2}&{1}&{0}&{|}&{0}&{1}&{0}\\{3}&{-2}&{2}&{|}&{0}&{0}&{1}\end{pmatrix}\]

Primero triangulamos por arriba (podríamos hacerlo por abajo):

\[(f_1-f_3)\ \rightarrow\ \begin{pmatrix}{-1}&{0}&{0}&{|}&{1}&{0}&{-1}\\{2}&{1}&{0}&{|}&{0}&{1}&{0}\\{3}&{-2}&{2}&{|}&{0}&{0}&{1}\end{pmatrix}\]

Hemos tenido suerte. Ahora triángulamos por abajo:

\[(f_2+2f_1)\ \rightarrow\ \begin{pmatrix}{-1}&{0}&{0}&{|}&{1}&{0}&{-1}\\{0}&{1}&{0}&{|}&{2}&{1}&{-2}\\{3}&{-2}&{2}&{|}&{0}&{0}&{1}\end{pmatrix}\]

\[(f_3+3f_1)\ \rightarrow\ \begin{pmatrix}{-1}&{0}&{0}&{|}&{1}&{0}&{-1}\\{0}&{1}&{0}&{|}&{2}&{1}&{-2}\\{0}&{-2}&{2}&{|}&{3}&{0}&{-2}\end{pmatrix}\]

\[(f_3+2f_2)\ \rightarrow\ \begin{pmatrix}{-1}&{0}&{0}&{|}&{1}&{0}&{-1}\\{0}&{1}&{0}&{|}&{2}&{1}&{-2}\\{0}&{0}&{2}&{|}&{7}&{2}&{-6}\end{pmatrix}\]

Una vez diagonalizada la matriz, la hacemos unitaria:

\[(-f1; f_3/2)\ \rightarrow\ \begin{pmatrix}{1}&{0}&{0}&{|}&{-1}&{0}&{1}\\{0}&{1}&{0}&{|}&{2}&{1}&{-2}\\{0}&{0}&{1}&{|}&{\dfrac{7}{2}}&{1}&{-3}\end{pmatrix}\]

La matriz inversa queda: \[A^{-1}=\begin{pmatrix}{-1}&{0}&{1}\\{2}&{1}&{-2}\\{\dfrac{7}{2}}&{1}&{-3}\end{pmatrix}\]