Ejercicio

Sea la función \(f(x)=x^2\).

1. Calcula \(f'(3)\) de dos maneras distintas.
2. Calcula \(f'(x)\) de dos maneras distintas.
3. Calcula una primitiva de f(x).
4. Calcula \(\displaystyle\int f(x)\,dx\)
5. Calcula \(\displaystyle\int_0^2 f(x)\,dx\)
6. Dada la función \(\displaystyle F(x)=\int_a^x f(t)\,dt\), calcula \(F'(x)\).

Solución:















































Solución:

1.Calcula \(f'(3)\) de dos maneras distintas.

\(f'(3)\) es un número.

Por la definición: \(f'(3)=\displaystyle\lim_{h \to 0}{\dfrac{f(3+h)-f(3)}{h}}=\lim_{h \to 0}{\dfrac{(3+h)^2-3^2}{h}}=\lim_{h \to 0}{(h+6)}=6\)

Mediante las reglas de derivación: \(f'(x)=2x \Rightarrow f'(3)=2·3=6\)

2.Calcula \(f'(x)\) de dos maneras distintas.

\(f'(x)\) es una función.

Por la definición: \(f'(x)=\displaystyle\lim_{h \to 0}{\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim_{h \to 0}{\dfrac{(x+h)^2-x^2}{h}}=\lim_{h \to 0}{h+2x}=2x\)

Mediante las reglas de derivación: \(f'(x)=2x\)

3.Calcula una primitiva de f(x).

Una primitiva de f(x) es una función.

\(F(x)=\dfrac{x^3}{3}\)       Comprobación: \(F'(x)=\dfrac{3x^2}{3}=x^2=f(x)\)

4. Calcula \(\displaystyle\int f(x)\,dx\)

\(\displaystyle\int f(x)\,dx\) es la integral indefinida, que es un conjunto infinito de funciones.

\(\displaystyle\int f(x)\,dx=\dfrac{x^3}{3}+k\), con \(k \in \mathbb{R}\)

5. Calcula \(\displaystyle\int_0^2 f(x)\,dx\)

\(\displaystyle\int_0^2 f(x)\,dx\) es una integral definida, que es un número.

Por la regla de Barrow: \(\displaystyle\int_0^2 f(x)\,dx=\dfrac{x^3}{3}\Biggr]_0^2=\dfrac{2^3}{3}-\dfrac{0^3}{3}=\dfrac{8}{3}\)

6. Dada la función \(\displaystyle F(x)=\int_a^x f(t)\,dt\), calcula \(F'(x)\).

\(F'(x)\) es una función.

Por el Teorema Fundamental del Cálculo, \(F'(x)=f(x)=x^2\)