Seno o coseno con potencia par

En la fórmula del seno del ángulo mitad, \(sen\frac{x}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-cosx}{2}}\), se sustituye x por 2x y se eleva al cuadrado: \(sen^2x=\frac{1-cos2x}{2}\)

Esta última fórmula es la que se aplica.

Ejemplo: \[\int sen^2x\,dx=\int\frac{1-cos2x}{2}\,dx=\frac{x}{2}-\frac{sen2x}{4}+k\]

Nota: esta integral en concreto también se puede hacer por partes.

Para el coseno se hace igual pero utilizando \(cos^2x=\frac{1+cos2x}{2}\).

También se puede hacer integrando por partes teniendo en cuenta que \(sen^2 x=senx·senx\).

Seno o coseno con potencia impar

Se descompone la potencia impar en una potencia par y un factor de exponente uno y se aplica la fórmula \(sen^2x+cos^2x=1\)

Ejemplo: \[\int sen^3x\,dx=\int sen^2x·senx\,dx=\int(1-cos^2x)·senx\,dx=\]

\[\int(senx-cos^2xsenx)\,dx=-cosx+\frac{cos^3x}{3}+k\]

Para el coseno se hace igual.

Productos de potencias de senos y cosenos

Impar en el seno

Se hace el cambio de variable \(cosx=t\).        [1]

Despejando \(senx\) en \(sen^2x+cos^2x=1\) queda \(senx=\sqrt{1-cos^2x}=\sqrt{1-t^2}\)

Derivando en [1]: \(-senxdx=dt \Rightarrow dx=\frac{dt}{-senx}=-\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}\)

Ejemplo: \[\int sen^3x\,cos^2x\,dx=-\int \bigl(\sqrt{1-t^2}\bigr)^3t^2 \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}=\]

\[-\int (1-t^2)t^2dt=-\int (t^2-t^4)dt=\frac{t^3}{3}-\frac{t^5}{5}=\frac{cos^3x}{3}-\frac{cos^5x}{5}+k\]

Impar en el coseno

Se hace el cambio de variable \(senx=t\). 

Pares en seno y coseno

Se aplican las fórmulas \(sen^2x=\frac{1-cos2x}{2}\) y \(cos^2x=\frac{1+cos2x}{2}\).

Ejemplo: \[\int sen^2x\,cos^2x\,dx=\int \frac{1-cos2x}{2} \frac{1+cos2x}{2}\,dx=\int\frac{1-cos^22x}{4}dx=\frac{x}{4}-\frac{1}{4}\int cos^22x\, dx\]

Calculando la última integral como potencia par de un coseno, se tiene:

\[\int sen^2x\,cos^2x\,dx=\frac{x}{8}-\frac{sen4x}{32}+k\]

Nota: esta integral en concreto sale más rápidamente teniendo en cuenta que \[\int sen^2x\,cos^2x\,dx=\int (senx·cosx)^2\,dx=\int \Bigl(\frac{sen2x}{2}\Bigr)^2\,dx=\frac{1}{4}\int sen^22x\,dx\]

Para exponentes no pequeños interesa aplicar el cambio \(tgx=t\)

Potencias de la tangente

Funciona siempre el cambio de variable \(tgx=t\)

Derivando: \((1+tg^2x)dx=dt \Rightarrow dx=\frac{dt}{1+tg^2x}=\frac{dt}{1+t^2}\).

Ejemplo 1: \[\int tg^2x\,dx=\int t^2 \frac{dt}{1+t^2}\,dt=\int \Bigl(1-\frac{1}{1+t^2}\Bigr)\,dt=t-arctg\,t=tgx-x+k\]

Sin embargo, hay atajos:

Ejemplo 2: \[\int tgx\,dx=\int \frac{senx}{cosx}\,dx=-ln|cosx|+k\]

Ejemplo 3: \[\int tg^2x\,dx=\int \frac{sen^2x}{cos^2x}\,dx=\int \frac{1-cos^2x}{cos^2x}\,dx=\int \Bigl(\frac{1}{cos^2x}-1\Bigr)\,dx=tgx-x+k\]

Ejemplo 4: \[\int tg^3x\,dx=\int (tg^3x+tgx-tgx)\,dx=\int \bigl(tgx(1+tg^2x)-tgx\bigr)\,dx=\frac{tg^2x}{2}+ln|cosx|+k\]

Otros casos

Siempre nos queda hacer \(tg\frac{x}{2}=t\)