- Teorema de Bolzano

Si f es una función continua en el intervalo [a,b] que toma signos distintos en los extremos del intervalo, entonces existe un punto c del intervalo (a, b) tal que f(c) = 0.
Más formalmente: \(\exists c\in(a,b)/f(c)=0\)
Notas: 
-
Permite probar que una ecuación tiene solución o que las gráficas de dos funciones se cortan.
-
Es un teorma de existencia. No dice nada de cómo encontrar el punto c, salvo que está en el intervalo de las hipótesis.
-
Tampoco dice cuantos puntos c existen. Solo que, al menos, existe uno.
- Teorema del valor intermedio

Si f es una función continua en el intervalo cerrado [a, b], entonces para cualquier valor M comprendido entre f(a) y f(b) existe un punto c comprendido entre a y b tal que f(c) = M.
DEMOSTRACIÓN.
Se demuestra como consecuencia del teorema de Bolzano.
Sea \[g(x)=f(x)-M\]
Supongamos que \(f(a)<M<f(b)\)
Entonces
\[g(a)=f(a)-M<0\]
\[g(b)=f(b)-M>0\]
Como g es continua en \([a, b]\) por serlo f, y tiene signos distintos en los extremos del intervalo, por el teorema de Bolzano
\[\exists c\in(a,b)/g(c)=0\]
Entonces
\[g(c)=f(c)-M=0\]
y, por tanto,
\[f(c)=M\]
Sea f una funciòn continua en un intervalo cerrado [a, b]. Entonces f alzanza su máximo y su minimo en el intervalo.
Notas: 
-
Este teorema permitirá buscar el máximo y el mínimo absolutos bien en el interior bien en los extremos del intervalo.
-
En el gráfico de la derecha el máximo absoluto se alcanza en \(x = c\) (en el interior del intervalo), mientras que el mínimo absoluto se alcanza en \(x = a\) (en uno de los extremos).
|