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Teoremas de Weierstrass y Bolzano
Matemáticas II> Análisis
 

 

  • Teorema de Bolzano

Si f es una función continua en el intervalo [a,b] que toma signos distintos en los extremos del intervalo, entonces existe un punto c del intervalo (a, b) tal que f(c) = 0.

Más formalmente: \(\exists c\in(a,b)/f(c)=0\)

 

 

Notas:

  • Permite probar que una ecuación tiene solución o que las gráficas de dos funciones se cortan.

  • Es un teorma de existencia. No dice nada de cómo encontrar el punto c, salvo que está en el intervalo de las hipótesis.

  • Tampoco dice cuantos puntos c existen. Solo que, al menos, existe uno.

Fuente

 

  • Teorema del valor intermedio

Si f es una función continua en el intervalo cerrado [a, b], entonces para cualquier valor M comprendido entre f(a) y f(b) existe un punto c comprendido entre a y b tal que f(c) = M.

 

 

 

 

 

 

 

 

DEMOSTRACIÓN.

Se demuestra como consecuencia del teorema de Bolzano.

Sea \[g(x)=f(x)-M\]

Supongamos que \(f(a)<M<f(b)\)

Entonces

\[g(a)=f(a)-M<0\]

\[g(b)=f(b)-M>0\]

Como g es continua en \([a, b]\) por serlo f, y tiene signos distintos en los extremos del intervalo, por el teorema de Bolzano

\[\exists c\in(a,b)/g(c)=0\]

Entonces

\[g(c)=f(c)-M=0\]

y, por tanto,

\[f(c)=M\]

 

  • Teorema de Weierstrass

Sea f una funciòn continua en un intervalo cerrado [a, b]. Entonces f alzanza su máximo y su minimo en el intervalo.

Notas:

  • Este teorema permitirá buscar el máximo y el mínimo absolutos bien en el interior bien en los extremos del intervalo.

  • En el gráfico de la derecha el máximo absoluto se alcanza en \(x = c\) (en el interior del intervalo), mientras que el mínimo absoluto se alcanza en \(x = a\) (en uno de los extremos).

 

 

 

 

 

 
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Alberto Rodriguez Santos
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