Vamos a calcular la integral definida \(\displaystyle\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} sen^2xcosx\,dx\)

Método A:

1. Calculamos primero la integral definida por cambio de variable:

\(\displaystyle\int sen^2xcosx\,dx=\int t^2\,dt=\frac{t^3}{3}=\frac{sen^3x}{3}+c\)

                   \(senx=t\)

                   \(cosxdx=dt\)

2. Aplicamos la regla de Barrow:

\(\displaystyle\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} sen^2xcosx\,dx=\frac{sen^3x}{3}\Biggr]_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{1}{3}-(-\frac{1}{3})=\frac{2}{3}\)

Método B:

Calculamos directamente la integral definida aplicando el cambio de variable también a los límites de integración:

\(\displaystyle\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} sen^2xcosx\,dx=\int_{-1}^1 t^2\,dt=\frac{t^3}{3}\Biggr]_{-1}^1=\frac{1}{3}-(-\frac{1}{3})=\frac{2}{3}\)

                   \(senx=t\)

                   \(cosxdx=dt\)

                   \(sen(\frac{-\pi}{2})=1\)

                   \(sen(-\frac{-\pi}{2})=1\)