• Teorema del valor medio para integrales

Si f(x) es una función continua en \([a,b]\), entonces
\[\exists c\in (a,b) /\int_a^b f(x)\,dx=f(c)·(b-a)\]

• Teorema fundamental del cálculo

Si f(x) es una función continua en \([a,b]\), y se define \(F(x)=\int_a^x f(x)\,dx\ \ \forall x\in[a,b])\), entonces \(F(x)\) es derivable y \(F'(x)=f(x)\).

DEMOSTRACIÓN

Por definición: \(F'(x)=\displaystyle\lim_{h \to{0}}{\frac{\int_a^{x+h} f(t)\,dt-\int_a^x f(t)\,dt}{h}}\)

Aplicando las propiedades de la integral indefinida:

\(\displaystyle\lim_{h \to{0}}{\frac{\int_a^{x+h} f(t)\,dt-\int_a^x f(t)\,dt}{h}}=\lim_{h \to{0}}{\frac{\int_a^x f(t)\,dt+\int_x^{x+h} f(t)\,dt-\int_a^x f(t)\,dt}{h}}=\lim_{h \to{0}}{\frac{\int_x^{x+h} f(t)\,dt}{h}}\)

Por el teorema del valor medio, \[\exists c\in (x,x+h) /\int_x^{x+h} f(t)\,dt=f(c)·(x+h-x)=f(c)·h\] y, por tanto:

\[F'(x)=\displaystyle\lim_{h \to{0}}{\frac{\int_x^{x+h} f(t)\,dt}{h}}=\lim_{h \to{0}}{\frac{f(c)·h}{h}}=\lim_{h \to{0}}{f(c)}=f(x)\]

El último paso es obvio si se piensa que \(c\in (x,x+h)\), por lo que, al tender h a cero, c tiende a x.

NOTA: en el siguiente enlace se puede ver una demostración intuitiva.

• Dos primitivas de una misma función se diferencian en una constante.

  Sean F(x) y G(x) primitivas de f(x). Entonces \(F'(x)=G'(x)=f(x)\).

  Sea \(H(x)=F(x)-G(x) \Rightarrow H'(x)=F'(x)-G'(x)=f(x)-f(x) = 0\)

  Pero si \(H'(x) =0 \Rightarrow H(x)=k\), con k constante.

  Por tanto \(F(x)-G(x)=k\)

• Regla de Barrow

  Si f(x) es una función continua en \([a,b]\), y \(F(x)\) es una primitiva de \(f(x)\), entonces \[\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\]

DEMOSTRACIÓN

Sea \(c\in[a,b]\).

Es obvio que \(\int_a^b f(x)\,dx=\int_a^c f(x)\,dx+\int_c^b f(x)\,dx=\int_c^b f(x)\,dx-\int_c^a f(x)\,dx\)

Sea \(G(x)=\int_c^x f(x)\,dx\). Entonces \(\int_a^b f(x)\,dx=G(b)-G(a)\)          [*]

Por el teorema fundamental del cálculo, \(G(x)\) es una primitiva de f(x).

Sea \(F(x)\) otra primitiva de \(f(x)\). Entonces \(G(x) = F(x) + k\), siendo k una constante.

Entonces se tiene que:

\(G(b) = F(b) + k\)

\(G(a) = F(a) + k\)

Sustituyendo en [*]

\(\int_a^b f(x)\,dx=(F(b) + k)-(F(a) + k)\)

y, por tanto,

\[\int_a^b f(x)\,dx=F(b) -F(a)\]