Sabemos que \(\displaystyle\lim_{x \to \infty}{f(x)}=1 \ y\ que\ \lim_{x \to \infty}{g(x)}=\infty\). Se trata entonces de calcular \(\displaystyle\lim_{x \to \infty}{f(x)^{g(x)}}\).

Método 1

\(\displaystyle\lim_{x \to \infty}{f(x)^{g(x)}}=\)

\(\displaystyle\lim_{x \to \infty}{(1+f(x)-1)^{g(x)}}=\)

\(\displaystyle\lim_{x \to \infty}{\left(1+\dfrac{1}{\dfrac{1}{f(x)-1}}\right)^{g(x)}}=\)

\(\displaystyle\lim_{x \to \infty}{\left(\left(\left(1+\dfrac{1}{\dfrac{1}{f(x)-1}}\right)^{\dfrac{1}{f(x)-1}}\right)^{f(x)-1}\right)^{g(x)}}=\lim_{x \to \infty}{\left(\left(1+\dfrac{1}{\dfrac{1}{f(x)-1}}\right)^{\dfrac{1}{f(x)-1}}\right)^{(f(x)-1)g(x)}}\ \ \ \ [1]\)

Sabemos que \(\displaystyle\lim_{x \to \infty}{\left(1+\dfrac{1}{h(x)}\right)^{h(x)}}=e\) siempre que \(\displaystyle\lim_{x \to \infty}{h(x)}=\infty\).

Como \(\displaystyle\lim_{x \to \infty}{f(x)}=1\), tenemos que \(\displaystyle\lim_{x \to \infty}{\dfrac{1}{f(x)-1}}=\infty\).

Por tanto, \(\displaystyle\lim_{x \to \infty}{\left(1+\dfrac{1}{\dfrac{1}{f(x)-1}}\right)^{\dfrac{1}{f(x)-1}}}=e\)

Sustituyendo en [1] se tiene por fin:

\(\displaystyle\lim_{x \to \infty}{f(x)^{g(x)}}=e^{\displaystyle\lim_{x \to \infty}{(f(x)-1)g(x)}}\)

Método 2

Usar directamente la fórmula obtenida en el método anterior.