Vamos a demostrar que si una función es derivable en x = a entonces también es continua en x = a.

DEMOSTRACIÓN

Para todo \(x \ne a\) es obvio que la siguiente igualdad es cierta: \(f(x)-f(a)=(x-a)\cdot \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\)

Tomando límites tenemos:

\(\displaystyle\lim_{x \to a}{[f(x)-f(a)]}=\lim_{x \to a}\left[ (x-a)\cdot \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\right]\)

Como f(x) es derivable en a, se tiene que \(\displaystyle \lim_{x \to a} \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a)\)

Por otro lado, \(\displaystyle\lim_{x \to a}(x-a)=0\)

Entonces: \(\displaystyle\lim_{x \to a}{[f(x)-f(a)]}=0 \cdot f'(a)=0\)

Luego \(\displaystyle\lim_{x \to a}{f(x)}=f(a)\), por lo que f es continua en x = a.