Sea la función \(F(x)=\displaystyle\int_{a}^{g(x)} f(x)\,dx\). Se trata de calcular la derivada de F(x).

Sea \(h(x)=\displaystyle\int_{a}^{x} f(x)\,dx\).

Se tiene entonces que \(F(x)=h \circ g(x)\)

Derivando por la regla de la cadena se tiene que \(F'(x)=h'(g(x))·g'(x)\)

Por el teorema fiundamental del cálculo tenemos que \(h'(x)=f(x)\).

Entonces: \(F'(x)=f(g(x))·g'(x)\)

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Ejemplo: Deriva la función \(F(x)=\displaystyle\int_{3}^{ln(x)} senx\,dx\)

Aplicando lo anterior a \(f(x)=senx\) y \(g(x)=ln\), tenemos: \(F'(x)=sen(lnx)·\dfrac{1}{x}\)

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NOTA: si se puede calcular una forma explicita de la función F(x), también podemos derivar esta directamente:

Una primitiva de \(senx \text{ es } -cosx\). Entonces: \(F(x)=\displaystyle -cosx \Biggr]_{3}^{lnx}=-cos(lnx)+cos(3)\)

Ahora, derivamos: \(F'(x)=sen(lnx)·\dfrac{1}{x}\)