Si e(t) es la función posición de un móvil, la velocidad se define como su derivada respecto del tiempo:

\[v(t)=\dfrac{de(t)}{dt}\]

A su vez, la aceleración se define como la derivada de la velocidad, siempre respecto del tiempo:

\[a(t)=\dfrac{dv(t)}{dt}\]

o, lo que es lo mismo, la segunda derivada de la posición:

\[a(t)=\dfrac{d^2e(t)}{dt^2}\]

Supongamos que un móvil se desplaza con un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado y que su aceleración es a. Integrando, obtendremos la velocidad:

\[v(t)=\int {a \,dt}=at+k\]

Si t = 0, tenemos que

\[v(0)=k\]

es decir, que k es la velocidad inicial: \(k=v_0\) y, por tanto:

\[v(t)=at+v_0\]

Integrando la velocidad, obtendremos la función posición del móvil:

\[e(t)=\int {at+v_0 \,dt}=a\dfrac{t^2}{2}+v_0t+k'\]

Si t = 0, tenemos que

\[e(0)=k'\]

es decir, que k' es la posición inicial: \(k'=e_0\) y, por tanto:

\[e(t)=a\dfrac{t^2}{2}+v_0t+e_0\]

Reordenando:

\[e(t)=e_0+v_0t+\dfrac{1}{2}at^2\]