Cuotas anuales para pagar un préstamo.

\(C_0=cuota\ anual\)

\(C_f=cuantía\ del\ préstamo\)

\(i=\dfrac{r}{100}\)

\(t=años\)

La deuda total, calculada según un intéres compuesto, es: \(C_f(1+i)^t\)      [1]

Pasado un año se hace el primer pago, que, al pasar t-1 años, se habrá convertido en: \((1+i)^{t-1}C_0\)

Pasado otro año se hace el segundo pago, que t-2 años después se habrá convertido en \((1+i)^{t-2}C_0\)

...

Pasados t años, se hace el último pago: \(C_0\)

La suma de todos los pagos es la suma de los t primeros términos de una progresión geométrica de razón (1+i) y primer elemento \(C_0\).

Como la suma de los primeros términos de uns serie geométrica es: \(S_n=a_0\dfrac{r^n-1}{r-1}\), se tiene que:

Suma de los pagos: \(C_0\dfrac{(1+i)^t-1}{1+i-1}=C_0\dfrac{(1+i)^t-1}{i}\)

Esta suma debe coincidir con la deuda total expresada en [1]:

\(C_f(1+i)^t=C_0\dfrac{(1+i)^t-1}{i}\)

Despejando :

\[C_f=C_0\dfrac{(1+i)^t-1}{i(1+i)^t}\]