Dada una variable \(Z\) de distribución normal \(N(0,1)\), para cualquier valor \(\alpha \in [0,1]\) podemos encontrar un intervalo centrado en el cero de modo que la probabilidad de ese intervalo sea \(1-\alpha\). Al radio del intervalo se le llama valor crítico y se nota \(z_{\frac{\alpha}{2}}\). La razón es que cumple que \[P\left(Z < z_{\frac{\alpha}{2}}\right)=1-\dfrac{\alpha}{2}\]

Por lo tanto, para este valor crítico se da que \[P\left(-z_{\frac{\alpha}{2}} < Z < z_{\frac{\alpha}{2}}\right)=1-\alpha\]

Demostración:

Sea \(z / P\left(-z< Z < z\right)=1-\alpha\)

\(P\left(-z< Z < z\right)=P\left(Z < z\right)-P\left(Z \le -z\right)=\\=P\left(Z < z\right)-P\left(Z \ge z\right)=\\=P\left(Z < z\right)-(1-P\left(Z < z\right))=\\=2P\left(Z < z\right)-1\)

Luego \(2P\left(Z < z\right)-1=1-\alpha\)

Despejando, \[P\left(Z < z\right)=1-\dfrac{\alpha}{2}\]

Ejemplo de cálculo

Se quiere conseguir un intervalo tal que su probabilidad sea \(0,95\).

\(1-\alpha=0,95 \rightarrow \alpha=1-0,95=0,05\)

Buscamos entonces \(z_{\frac{\alpha}{2}}=z_{0,025}\), que debe cumplir que \(P\left(Z < z_{0,025}\right)=1-0,025=0,975\)

Buscando en la tabla de la normal, encontramos que \(P\left(Z < 1,96\right)=0,975\)

Luego \(z_{0,025}=1,96\)