geo-035-angulos-3d

π _1

π _2

n_1

n_2

1. Una forma de hacerlo sería 
coger un plano perpendicular 
a ambos, hallar las rectas de 
corte y calcular el ángulo 
formado por dichas rectas.

Afortunadamente, hay un atajo...

Planos

Plano perpendicular

Vectores normales

Vectores

Conclusión

0. Queremos calcular el ángulo 
formado por los dos planos.

2. Si representamos los vectores 
normales a los dos planos n_1 
y n_2, vemos que el ángulo que 
forman es el mismo que forman 
los dos planos.

3. Con solo los vectores se ve mejor: 
a) Por construcción, los dos vectores 
verdes son perpendiculares, al igual 
que los dos vectores rojos.
b) Entonces β = 90º - α.
c) También se tiene que γ = 90º - β.
d) Luego γ = 90º - (90º - α) =α.
Es decir, que el ángulo formado por 
los dos planos es el mismo que el 
formado por sus vectores normales.

Conclusión: para calcular el ángulo
formado por dos planos calcularemos 
el ángulo formado por sus direcciones 
perpendiculares.  

a_1 = true
b_1 = true
O = Intersect(xAxis, zAxis)
h = true
i = true
π_1: x + y - (2 * z) = 0
π_2: (2 * x) + (3 * y) + z = 0
n_1: (-3 * UnitOrthogonalVector[π_1])
n_2: (-3 * UnitOrthogonalVector[π_2])
g = IntersectPath(π_1, π_2)
p = OrthogonalPlane(O, g)
j = IntersectPath(π_2, p)
k = IntersectPath(π_1, p)
α_1 = Angle(n_1, n_2)
a = true
b = false
c = false
d_1: (3 * UnitVector[k])
d = false
d_2: (3 * UnitVector[j])
γ_1 = Angle(j, k)
e = false
α = Angle(d_2, d_1)
β = Angle(d_1, n_2)
γ = Angle(n_2, n_1)
Op = 0.9 (slider from 0 to 1, step 0.1)