Desarrollo plano de un cilindro oblicuo de bases circulares

Para obtener el desarrollo plano de un cilindro oblicuo de bases circularesvamos a cortar el cilindro por las circunferencias de las bases y por una de sus generatrices. Las dos bases son dos círculos y no presentan por tanto ningún problema. Desarrollar la cara lateral va a ser más complicado porque necesitamos saber la forma que van a tener en el plano los bordes superior e inferior de dicha cara lateral al desarrollarla, y dicha forma no resulta una curva trivial en absoluto. Sea C dicha curva.

Tenemos por tanto un cilindro donde r es el radio de las bases, \(\gamma\) el ángulo que forman las generatrices con las bases y h la altura. Si este ángulo fuese recto tendríamos un cilindro recto y un desarrollo es trivial: dos círculos y un rectángulo.

El proceso que vamos a seguir es el siguiente: cortaremos el cilindro por un plano (en naranja) perpendicular a las generatrices. Lo que se obtiene es una elipse. Cada punto P de la circunferencia morada se proyecta siguiendo la dirección de las generatrices en un punto P' de la elipse. La distancia entre P y P' (en azul) será la coordenada vertical del punto P una vez realizado el desarrollo. La coordenada horizontal será la longitud (con signo) del arco de elipse (en rojo) que va de P' hasta el punto de la elipse opuesto al punto de corte de la elipse con la generatriz g.

(En la construcción, el punto P se puede arrastrar con el botón izquierdo del ratón.)

Coordenada vertical de un punto P

Calculamos primero las ecuaciones de la elipse. Para ello necesitamos sus semiejes. El semieje mayor es r, es decir, el radio de las bases del cilindro. Mirando el cilindro de perfil vemos el semieje menor, r'. La perspectiva de las imágenes tridimensionales puede engañar, pero r' es menor que r:

De la imagen se deduce que \(r'=r sen\gamma \ \ \ \ [1]\).

La elipse tiene por tanto semiejes r y r'. Situando el origen de coordenadas en el punto O, sus ecuaciones serán \(\left\{\begin{array}{l} x=r' cos \alpha\\y=rsen\ \alpha \end{array}\right.\)

En concreto, tenemos que la coordenada horizontal de P' es \(x=r'cos \alpha\ \ \ \ [2]\).

Volviendo a la vista de perfil, sea y la coordenada vertical de P:

Tenemos entonces que \(tg\gamma=\dfrac{x+r'}{y}\)

Despejando: \(y=\dfrac{x+r'}{tg \gamma}\)

Sustituimos [2] en la ecuación anterior: \(y=\dfrac{r'cos\alpha+r'}{tg \gamma}\)

Sacando factor común y sustituyendo ahora [1], queda: \(y=\dfrac{r sen \gamma (1+cos\alpha)}{tg \gamma}\)

Simplifcando: \(y=r cos \gamma (1+sen \alpha)\)

Coordenada horizontal

Como dijimos, la coordenada horizontal será la longitud (con signo) del arco de elipse (en rojo) que va de P' hasta el punto de la elipse opuesto al punto de corte con la generatriz.

Las ecuaciones paramétricas de la elipse son:

\[\left\{\begin{array}{l} x=r' cos \alpha\\y=rsen\ \alpha \end{array}\right.\]

Derivando: \[\left\{\begin{array}{l} x=-r' sen \alpha\\y=r cos\ \alpha \end{array}\right.\]

Integrando el modulo de la derivada tenemos la coordenada horizontal buscada:

\[x=\displaystyle\int_{0}^{\alpha} \sqrt{(-r'sen t)^2+(r cos t)^2} \,dt\]

Sustituyendo [1] en la integral: \[x=\displaystyle\int_{0}^{\alpha} \sqrt{(-rsen \gamma sen t)^2+(r cos t)^2} \,dt\]

Simplificando: \[x=r\displaystyle\int_{0}^{\alpha} \sqrt{sen^2 \gamma sen^2 t+cos^2 t} \,dt\]

Las ecuaciones de la línea ondulada que da la circunferencia de una de las bases al desarrollarse sobre el plano son, por tanto:

\[\left\{\begin{array}{l} x=r\displaystyle\int_{0}^{\alpha} \sqrt{sen^2 \gamma sen^2 t+cos^2 t} \,dt\\y=r cos \gamma (1+sen \alpha)\end{array}\right. \ \ \ \ \alpha \in [-\pi,\pi]\] que, como era de prever, solo dependen del radio y el ángulo de inclinación del cilindro.

(Pregunta: ¿qué ecuaciones salen para \(\gamma=\pi/2\)?)

La curva resultante es la siguiente:

Utilizando las ecuaciones anteriores y completando lo necesario, tenemos el desarrollo del cilindro oblicuo de bases circulares:

Sugerencia: imprime, recorta y comprueba.

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Un comentario sobre el área lateral

Si me puse a pensar en este desarrollo es porque encontré en un libro de secundaria de 3º de ESO un ejercicio consistente en calcular el área lateral de un cilindro oblicuo de bases circulares sabiendo su altura y el radio de sus bases.

Visto el desarrollo anterior, el área pedida sería el producto de la generatriz por el perímetro de la elipse resultante de cortar el cilindro con un plano perpendicular a la generatriz (si en el desarrollo cortamos el saliente curvo superior y lo añadimos por debajo tendremos un rectángulo de altura la generatriz y anchura el perímetro de la mencionada elipse). Es decir: \[A_l=g·r\displaystyle\int_{0}^{2\pi} \sqrt{sen^2 \gamma sen^2 t+cos^2 t} \,dt\]

Es evidente que en el ejercicio comentado a) falta un dato (el ángulo \(\gamma\)) y b) que la cosa excede el nivel de 3º de la ESO (tuve que pedirle disculpas a mis alumnos).

Buscando en internet, por si hubiera otra forma de atacar el problema, he encontrado varios sitios donde dan la fórmula \(2\pi r g\) para el área lateral. La explicación de que aparezca esta fórmula errónea es que están confundiendo cilindros oblicuos de base circular con cilindros oblicuos de sección circular. En estos últimos, el resultado de cortar un clindro circular con un plano no perpendicular a la generatriz, la fómula es correcta, siendo r el radio de la sección circular del cilindro. Pero en este caso las bases no son círculos, sino elipses.

Dicho de otro modo: el área lateral de un cilindro es siempre igual al producto de la generatriz por el perímetro de la sección obtenida al cortar el cilindro por un plano perpendicular a las generatrices. Si la sección es circular, la cosa es fácil: \(A=2\pi r g\). Pero si dicha sección es elíptica...