Las definiciones del número e

Definiciones

A. El número e como límite

Con frecuencia se define el número e como el siguiente límite:

\[\boxed{e=\displaystyle\lim_{n \to \infty} {\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n}}\]

B. El número e como serie 

También es frecuente expresarlo como la suma de uns serie infinita:

\[\boxed{e=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty=\dfrac{1}{n!}}\]

donde n! repsrsenta al factorial de n, es decir, el producto de n por todos los números naturales inferiores a él.

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En la siguiente construcción podemos ver cómo convergen el límite y la serie. Hay que señalar lo rápido que lo hace la serie comparada con el límite. El deslizador oculta o muestra los puntos de la gráfica.

C. El número e como solución de una ecuación integral

El número e está íntimamente relacionado con el logaritmo. Esto explica, como veremos, que el número e también se defina como la solución de la siguiente ecuación integral:

\[\boxed{\displaystyle\int_1^x \dfrac{1}{t}\,dt=1}\]

En la construcción intepretamos la integral definida como área y vemos, moviendo el deslizador, cómo e es el valor de abscisa que da una área igual a 1 bajo la hipérbola.

D. El número e como solución de una ecuación diferencial

Si hemos visto una definición con integrales, toca ahora una con derivadas. El número e se puede definir cómo el único número real que cumple que la función exponencial que lo tiene como base coincide con su derivada, es decir, que si \(f(x)=e^x\) entonces:

\[\boxed{f(x)=f'(x)}\]

La construcción siguiente muestra una función exponencial y su derivada. El deslizador cambia la base de la exponencial. Los botones nos muestran la situación para tres valores concretos: 2, e y 3.