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Catenaria dada la longitud del arco



El problema

La catenaria es la curva que describe una cuerda (o cadena) que cuelga cuando es sujetada por sus extremos.

Su ecuación es \(f(x)=a·cosh\left(\dfrac{x}{a}\right)\), donde el parámetro a se corresponde, en un sistema físico, con el cociente entre la tensión horizontal en los extremos del cable y el peso por unidad de longitud.

Matemáticamente resulta ser la ordenada en el origen.

Lo que nos planteamos es cómo obtener dicho parámetro a conocida la longitud L del arco de catenaria que discurre entre dos puntos de igual altura.

Cálculo de la longitud de la catenaria

Vamos a obtener, en primer lugar, una expresión de la longitud de un arco de catenaria.

Sea la ecuación de la catenaria \(f(x)=a·cosh\left(\dfrac{x}{a}\right)\)

La longitud de un arco de curva entre -x y x es

\[L=\displaystyle\int_{-x}^x \sqrt{1+f'(t)^2}\,dt\]

Derivando f(x):

\[f'(x)=a·senh\left(\dfrac{x}{a}\right)·\dfrac{1}{a}=senh\left(\dfrac{x}{a}\right)\]

Sustituyendo:

\[L=\displaystyle\int_{-x}^x \sqrt{1+sinh^2\left(\dfrac{t}{a}\right)}\,dt=\displaystyle\int_{-x}^x \sqrt{cosh^2\left(\dfrac{t}{a}\right)}\,dt=\displaystyle\int_{-x}^x cosh\left(\dfrac{t}{a}\right)\,dt=a·senh\left(\dfrac{t}{a}\right)\Biggr]_{-x}^x\]

Por Barrow:

\[L=a·senh\left(\dfrac{x}{a}\right)-a·senh\left(-\dfrac{x}{a}\right)\]

Como senh es impar,

\[L=2a·senh\left(\dfrac{x}{a}\right)\]

Si llamamos S = 2x (S es, entonces, la separación horizontal entre los dos exttremos del arco), tenemos:

\[L=2a·senh\left(\dfrac{S}{2a}\right)\]

La ecuación

Si damos por conocidos los valores de S y L y buscamos el de a, nuestra ecuación queda como

\[L=2x·senh\left(\dfrac{S}{2x}\right)\]

Al tratrarse de una ecuación trascendente sin una solución explícita evidente, sustituimos el senh(x) por su polinomio de Taylor de orden 11

\[senh(x)\approx x +\dfrac{x³}{3!} + \dfrac{x⁵}{5!} + \dfrac{x⁷}{7!} + \dfrac{x⁹}{9!} + \dfrac{x¹¹}{11!}\]

y dejamos que Geogebra resuelva la ecuación polinómica resultante.

El resultado se puede ver en la construcción siguiente. El deslizador modifica la separación entre los dos extremos pero manteniendo la longitud del arco constante.


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