Catenaria dada la flecha del arco

El problema

La catenaria es la curva que describe una cuerda (o cadena) que cuelga cuando es sujetada por sus extremos.

Su ecuación es \(f(x)=a·cosh\left(\dfrac{x}{a}\right)\), donde el parámetro a se corresponde, en un sistema físico, con el cociente entre la tensión horizontal en los extremos del cable y el peso por unidad de longitud.

Matemáticamente resulta ser la ordenada en el origen.

Lo que nos planteamos es cómo obtener dicho parámetro conocida la flecha del arco de catenaria que discurre entre dos puntos de igual altura.

La ecuación

La ecuación de un arco de catenaria es \[f(x)=a·cosh\left(\dfrac{x}{a}\right), \ \ \ \left(-\frac{S}{2}<x<\frac{S}{2}\right)\]

donde S es la distancia entre los dos extremos de la cadena suspendida.

Lo que queremos es que

\[f\left(\dfrac{S}{2}\right)-f(0)=F\]

siendo F la longitud de la flecha.

Es decir:

\[a·cosh\left(\dfrac{S}{2a}\right)-a·cosh(0)=F\]

\[a·cosh\left(\dfrac{S}{2a}\right)-a=f\]

Si damos por conocidos los valores de S y F y buscamos el de a, la ecuación queda

\[x·cosh\left(\dfrac{S}{2x}\right)-x=F\]

\[cosh(x)\approx 1 +\dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} + \dfrac{x^6}{6!} + \dfrac{x^8}{8!} + \dfrac{x^{10}}{10!}\]

y dejamos que Geogebra resuelva la ecuación polinómica resultante.

El resultado se puede ver en la construcción siguiente. El deslizador permite modificar la longitud de la flecha.