El pentagrama: una escala logarítmica

Si representamos dos octavas en el pentagrama obtendremos la siguiente imagen:

Sin embargo, si representamos las frecuencias de las notas musicales en un ejes coordenados, obtenemos la gráfica que se puede ver abajo. Los puntos se ajustan perfectamente a la gráfica de una función exponencial, como se puede comprobar seleccionando la casilla exponencial. La sorpresa es que, tomando logaritmos (lo cual conseguimos llevando el deslizador de la izquierda hacia abajo), conseguimos alinear las notas de un modo similar a como aparecen en el pentagrama. Si esto es así es porque el pentagrama es un gráfico logarítmico, en el sentido de que no muestra la diferencia entre las frecuencias de los sonidos, sino la diferencia entre los logaritmos de dichas frecuencias.

Nota: el gráfico inicial refleja los pares (X, Frecuencia). En el gráfico que surge al bajar el deslizador no he representado el logaritmo de la frecuencia sino su triple para hacer más evidente el parecido con el pentagrama. Es decir, los pares (X, Y). Por cierto: en las valores de las frecuencias el punto indica la posición decimal.

Esto puede parecer caprichoso, pero no lo es: nuestro oído no nos informa de las diferencias absolutas entre los sonidos, sino de la relación que hay entre ellos. Así, cuando escuchamos sonidos de 110, 220, 440 u 880 herzios, el oído no nos dice que la diferencia entre las frecuencias va creciendo, sino que la relación entre ellos es en todos los casos la misma, es decir, el doble de la anterior. El efecto es que, con independiencia de las diferencias entre sus frecuencias, siempre escuchamos la misma nota: la.

Se llama escala logarítmica aquella en la que en vez de indicar el valor de la variable se señala su logaritmo. Si, por ejemplo, una magnitud toma valores en potencias de diez (10, 100, 1000, 10000...) representar estos valores en un eje resultaría bastante complicado. Sin embargo, si tomamos logaritmos decimales, el 10 (=10¹) se convertirá en 1, el 100 (=10²) en 2, el 1000 (=10³) en 3 y así sucesivamente.

El pentagrama es, precisamente, un ejemplo de escala logarítmica, pues la altura con la que representamos los sonidos en el pentagrama no es proporcional a la frecuencia, sino al logaritmo de la frecuencia. Las tres notas do representadas tanto en el pentagrama como en la construcción tienen, aproximando a las unidades) las siguientes frecuencias en herzios: 131, 262 y 524. Como se ve, de un do grave al do siguiente más agudo la frecuencia se dobla (es decir: la sucesión de frecuencias de las notas do están en progresión geométrica). Sin embargo, en el pentagrama, la separación vertical entre las tres notas es la misma.

Lo dicho exige alguna salvedad: el pentagrama no es una escala logarítmica perfecta: hay que tener en cuenta que, por un lado, hay notas que solo difieren en medio tono, mientras que otras difieren en un tono. Por otro, los sostenidos y bemoles que se introducen en la clave modifican estos saltos medio tono arriba, medio tono abajo.

La fórmula

Quizá tengas curiosidad por saber de dónde viene la fórmula exponencial que aparece en la construcción. Es sencillo:

1. Pasar de una nota a la misma nota de la octava siguiente significa multiplicar la frecuencia por 2.
2. Como entre entre dos notas separadas por hay una octava hay doce semitonos, para pasar de una nota a la que es un semitomo más aguda habrá que multiplicar la frecuencia de la primera por \(\sqrt[12]{2}\).
3. Si queremos empezar en la nota Do2, numeramos los semitonos empezando por ella. Entonces la nota x será x-1 tonos más aguda que Do2, por lo que habrá que multiplicar x-1 veces su frecuencia (130,813 Hz), por \(\sqrt[12]{2}\).
4. Es decir: \(f(x)=130,813·(\sqrt[12]{2})^{x-1}\)