Obtención de la ecuación de la hélice cónica

Las ecuaciones paramétricas de un cono son: \[c:\left\{\begin{array}{l} x=s·{\rm cos} t\\y=s·{\rm sen} t\\z=s·{\rm ctg}\alpha \end{array}\right.\] donde α es el ángulo que forman las generatrices con el eje del cono.

Sean \(h: \left\{\begin{array}{l} x=f(t)·{\rm cos} t\\y=f(t)·{\rm sen} t\\z=f(t)·{\rm ctg}\alpha \end{array}\right.\) las ecuaciones paramétricas de la hélice buscada, siendo f(t) la relación que liga los parámetros t y s de las ecuaciones del cono.

Tenemos que calcular el ángulo formado por la curva y las generatrices, que viene dado en cada punto por el vector derivada de la curva y el vector director de la generatriz correspondiente.

La derivada de h es: \(h': \left\{\begin{array}{l} x'=f'(t)·{\rm cos} t-f(t)·{\rm sen}t\\y'=f'(t)·{\rm sen} t+f(t)·{\rm cos}t\\z'=f'(t)·{\rm ctg}\alpha \end{array}\right.\),

mientras que el vector director de cada generatriz coincide en este caso con h(t) (dada la parametrización elegida todas las generatrices pasan por el origen de coordenadas).

Calculando el modulo de h y h' y el producto escalar h·h'

\(|h|=f(t)·\sqrt{1+{\rm ctg}^2 \alpha}\)

\(|h'|=\sqrt{f'^2(t)·(1+{\rm ctg}^2 \alpha)+f^2(t)}\)

\(h·h'=f(t)·f'(t)(1+{\rm ctg}^2 \alpha)\)

y llamando β al ángulo formado por curva y generatrices se tiene:

\({\rm cos}\beta=\dfrac{h·h'}{|h|·|h'|}=\dfrac{f(t)·f'(t)(1+{\rm ctg}^2 \alpha)}{f(t)·\sqrt{1+{\rm ctg}^2 \alpha}\sqrt{f'^2(t)·(1+{\rm ctg}^2 \alpha)+f^2(t)}}\)

Tan amenazadora expresión se queda, tras aplicar la fórmula \(1+{\rm ctg}^2\alpha=\dfrac{1}{{\rm sen}^2\alpha}\) y simplificar, en algo mucho más razonable:

\({\rm cos}\beta=\dfrac{f'(t)}{\sqrt{f'^2(t)+f^2(t)·{\rm sen}^2 \alpha}}\)

Pasando la raíz al primer miembro, elevando al cuadrado, agrupando y despejando, tenemos, aunque parezca mentira:

\(f'(t)=f(t)·{\rm sen}\alpha·{\rm ctg}\beta\)

Ahora solo falta tener en cuenta que \({\rm sen}\alpha·{\rm ctg}\beta\) es constante y recordar que la función que derivada es igual a ella misma multiplicada por una constante es la exponencial para tener que

\(f(t)=e^{{\rm sen}\alpha·{\rm ctg}\beta·t}\)

por lo que la ecuación de la hélice cónica es:

\[h:\left\{\begin{array}{l} x=a·e^{{\rm sen}\alpha·{\rm ctg}\beta·t}·{\rm cos} t\\y=a·e^{{\rm sen}\alpha·{\rm ctg}\beta·t}·{\rm sen} t\\z=a·e^{{\rm sen}\alpha·{\rm ctg}\beta·t}·{\rm ctg}\alpha \end{array}\right.\]

donde a es un parámetro que añadimos para controlar el tamaño del cono.